第08讲三角形中几条重要线段-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪科版）

第08讲三角形中几条重要线段 【知识梳理】 一、三角形的三条重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 推理语言 因为AD是△ABC的高，所以AD⊥BC． (或∠ADB＝∠ADC＝90°) 因为AD是△ABC的中线，所以BD＝DC＝BC． 因为AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC． 用途举例 1．线段垂直． 2．角度相等． 1．线段相等． 2．面积相等． 角度相等． 注意事项 1．与边的垂线不同． 2．不一定在三角形内． — 与角的平分线不同． 重要特征 三角形的三条高(或它们的延长线)交于一点． 一个三角形有三条中线，它们交于三角形内一点，这个交点就是三角形的重心。 一个三角形有三条角平分线，它们交于三角形内一点． 二．三角形的面积 （1）三角形的面积等于底边长与高线乘积的一半，即S△＝×底×高． （2）三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分． 【考点剖析】 题型一、三角形的高 例1．如图，△ABC中AB边上的高是（　　） A．线段AD B．线段AC C．线段CD D．线段BC 【变式1】如图，CD⊥AB于点D，已知∠ABC是钝角，则（　　） A．线段CD是△ABC的AC边上的高线 B．线段CD是△ABC的AB边上的高线 C．线段AD是△ABC的BC边上的高线 D．线段AD是△ABC的AC边上的高线 【变式2】如图，在△ABC中，AC＝8，BC＝4，高BD＝3，试作出BC边上的高AE，并求AE的长． 【变式3】如图，△ABC的三条高AD、BE、CF相交于点O． （1）在△BOC中，OB边上的高是　　，OC边上的高是　　，BC边上的高是　　． （2）在△AOC中，OA边上的高是　　，OC边上的高是　　，AC边上的高是　　． （3）在△AOB中，OA边上的高是　　，OB边上的高是　　，AB边上的高是　　． 题型二、三角形的中线 例2．BD是△ABC的中线，AB＝5，BC＝3，△ABD和△BCD的周长的差是　　． 【变式1】三角形三条中线（　　） A．交点在三角形外 B．交点在三角形内 C．交点在三角形顶点 D．交点在三角形边上 【变式2】已知BD是△ABC的一条中线，△ABD与△BCD的周长分别为21，12，则AB﹣BC的长是　　． 【变式3】如图所示，CD为△ABC的AB边上的中线，△BCD的周长比△ACD的周长大3cm，BC＝8cm，求边AC的长． 【变式3】在△ABC中，AB＝AC，AC边上的中线BD把△ABC的周长分为12cm和15cm两部分，求三角形的各边长． 题型三、三角形的三条重要线段 例3．已知△ABC，如图，过点A画△ABC的角平分线AD、中线AE和高线AF． 【变式1】在△ABC中，线段AP，AQ，AR分别是BC边上的高线，中线和角平分线，则（　　） A．AP≤AQ B．AQ≤AR C．AP＞AR D．AP＞AQ 【变式2】如图，在△ABC中，∠BAC＝90°，AD是高，BE是中线，CF是角平分线，CF交AD于点G，交BE于点H，下面说法正确的是（　　） ①△ABE的面积＝△BCE的面积； ②∠AFG＝∠AGF； ③∠FAG＝2∠ACF； ④AF＝FB． A．①②③④ B．①②④ C．①②③ D．③④ 题型四：三角形面积 例4．若△ABC中，∠ACB是钝角，AD是BC边上的高，若AD＝2，BD＝3，CD＝1，则△ABC的面积等于 　　． 【变式1】在三角形中，一定能将其面积分成相等两部分的是（　　） A．中线 B．高线 C．角平分线 D．某一边的垂直平分线 【变式2】如图，已知△ABC中，点