专题11.9 与三角形有关的角（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题11.9 与三角形有关的角（知识梳理与考点分类讲解） 【知识点1】三角形的内角 1.三角形的内角和定理 三角形的内角和为180° 应用三角形内角和定理可以解决以下三类问题： ①在三角形中已知任意两个角的度数可以求出第三个角的度数； ②已知三角形三个内角的关系，可以求出其内角的度数； ③求一个三角形中各角之间的关系． 2.直角三角形 如果一个三角形是直角三角形，那么这个三角形有两个角互余.反过来，有两个角互余的三角形是直角三角形. 特别指出：如果直角三角形中有一个锐角为45°，那么这个直角三角形的另一个锐角也是45°，且此直角三角形是等腰直角三角形. 【知识点2】三角形的外角 3.定义 三角形的一边与另一边的延长线组成的角叫做三角形的外角．如图，∠ACD是△ABC的一个外角. 特别指出： 外角的特征：①顶点在三角形的一个顶点上； ②一条边是三角形的一边；③另一条边是三角形某条边的延长线． （2）三角形每个顶点处有两个外角，它们是对顶角．所以三角形共有六个外角，通常每个顶点处取一个外角，因此，我们常说三角形有三个外角． 4．性质： （1）三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和． （2）三角形的一个外角大于任意一个与它不相邻的内角． 特别指出： 三角形内角和定理和三角形外角的性质是求角度及与角有关的推理论证明经常使用的理论依据．另外，在证角的不等关系时也常想到外角的性质． 5.三角形的外角和： 三角形的外角和等于360°（可以理解成一个圆周为360度）. 要点说明：因为三角形的每个外角与它相邻的内角是邻补角，由三角形的内角和是180°，可推出三角形的三个外角和是360°． 【考点一】三角形内角和➼➻三角形内角和定理的证明 【例1】学习了证明的必要性，张明尝试证明三角形内角和定理，下面是他的部分证明过程． 已知：如图，，求证：． 证明：过点A作直线… 【答案】见分析 【分析】过点A作直线，根据平行线的性质可证得，，再根据平角的性质，即可证得． 解：证明：如图：过点A作直线， ，， ， ． 【点拨】本题考查了三角形内角和定理的证明方法，熟练掌握和运用三角形内角和定理的证明方法是解决本题的关键． 【举一反三】 【变式1】某班学生对三角形内角和为展开证明讨论，以下四个学生的作法中，不能证明的内角和为的是（    ） A． 过点A作 B．延长BC到点D，过点C作 C． 过点A作于点D D．过BC上一点D作， 【答案】C 【分析】本题运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义解决此题． 解：A、由，则，．由，得，故符合题意． B、由，则，．由，得，故符合题意． C、由于，则，无法证得三角形内角和是，故不符合题意． D、由，得，，则．由，得，，由，得，故符合题意， 故选：C． 【点拨】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，熟练掌握转化的思想以及平行线的性质是解决本题的关键． 【变式2】如图，铅笔放置在△ABC的边AB上，笔尖方向为点A到点B的方向，把铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数后，笔尖方向变为点B到点A的方向，这种变化说明____________． 【答案】三角形的内角和为 【分析】根据旋转后的笔尖方向得出旋转角度之和为，即这种变化说明三角形的内角和为． 解：∵铅笔依次绕点A、点C、点B按逆时针方向旋转∠A、∠C、∠B的度数， ∴旋转角度之和为∠A+∠C+∠B． ∵笔尖方向变为点B到点A的方向， ∴旋转角度之和为，即， ∴这种变化说明三角形的内角和为． 故答案为：三角形的内角和为． 【点拨】本题考查三角形内角和定理的证明，理解旋转角度之和与三角形内角和的关系是解题关键． 【考点二】三角形内角和➼➻三角形内角和与平行线结合 【例2】如图，，点在上．求证：． 【答案】证明见分析 【分析】由题意依据三角形内角和定理和平行线的性质以及等式的性质和角的等量代换进行分析求证即可． 解：在中， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴． 【点拨】本题考查平行线的性质以及三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的性质是解题的关键． 【举一反三】 【变式1】将一副直角三角板如图放置，已知，，，则为（    ）    A．45° B．60° C．90° D．105° 【答案】D 【分析】由直角三角形的性质得出，，由平行线的性质得出，再由三角形内角和定理即可求出∠CGD的度数． 解：∵，， ∴， 同理可得：， ∵， ∴， ∴． 故选：D． 【点拨】本题考查了平行线的性质，熟练掌握平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理是解决问题的关键． 【变式2】如图，在中