专题11.6 与三角形有关的线段（中线、高线和角平分线）（知识梳理与考点分类讲解）-2023-2024学年八年级数学上册基础知识专项突破讲与练（人教版）

专题11.6 与三角形有关的线段（中线、高线和角平分线） （知识梳理与考点分类讲解） 【知识点一】三角形中线、高线与角平分线 1、三角形的高 从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高． 三角形的高的数学语言： 如图一，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC边上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°. 注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)； 三角形高线中的一些注意点： （1）三角形的高是线段； （2）三角形有三条高，且相交于一点，这一点叫做三角形的垂心； （3）三角形的三条高： (ⅰ)锐角三角形的三条高在三角形内部，三条高的交点也在三角形内部； (ⅱ)钝角三角形有两条高在三角形的外部，且三条高的交点在三角形的外部； (ⅲ)直角三角形三条高的交点是直角的顶点. 2、三角形的中线 三角形的一个顶点与它的对边中点的连线叫三角形的中线． 三角形的中线的数学语言： 如图二，AD是ΔABC的中线或AD是ΔABC的BC边上的中线或BD＝CD＝BC. 图一 图二 图三 三角形中线中的一些注意点： （1）三角形的中线是线段； (2)三角形三条中线全在三角形内部； (3)三角形三条中线交于三角形内部一点，这一点叫三角形的重心； (4)中线把三角形分成面积相等的两个三角形. 3、三角形的角平分线 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线. 三角形的角平分线的数学语言： 如下图，AD是ΔABC的角平分线，或∠BAD＝∠CAD且点D在BC上. 注意：AD是ΔABC的角平分线∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) . 三角形角平分线中的一些注意点： （1）三角形的角平分线是线段； （2）一个三角形有三条角平分线，并且都在三角形的内部； （3）三角形三条角平分线交于三角形内部一点，这一点叫做三角形的内心； （4）可以用量角器或圆规画三角形的角平分线. 【知识点二】三角形的稳定性   三角形的三条边确定后，三角形的形状和大小就确定不变了，这个性质叫做三角形的稳定性. 三角形稳定性中的一些注意点： （1）三角形的形状固定是指三角形的三个内角不会改变，大小固定指三条边长不改变．  （2）三角形的稳定性在生产和生活中很有用．例如，房屋的人字梁具有三角形的结构，它就坚固而稳定；在栅栏门上斜着钉一条(或两条)木板，构成一个三角形，就可以使栅栏门不变形．大桥钢架、输电线支架都采用三角形结构，也是这个道理． （3）四边形没有稳定性，也就是说，四边形的四条边长确定后，不能确定它的形状，它的各个角的大小可以改变．四边形的不稳定性也有广泛应用，如活动挂架，伸缩尺．有时我们又要克服四边形的不稳定性，如在门框未安好之前，先在门框上斜着钉一根木板，使它不变形． 【考点一】三角形的高➼➻画三角形的高★★三角形的高有关计算★★垂心 【例1】如图，已知，根据下列要求作图并回答问题：    (1) 作边上的高； (2) 过点D作直线的垂线，垂足为E； (3) 点B到直线的距离是线段_______的长度，（不要求写画法，只需写出结论即可） 【答案】(1)见分析；(2)见分析；(3) 【分析】（1）根据三角形高的定义画出图形即可．（2）根据垂线的定义画出图形即可． （3）根据点到直线的距离，判断即可． （1）解：如图，线段即为所求．    （2）如图，线段即为所求． （3）到直线的距离是线段的长度． 故答案为：． 【点拨】本题考查作图基本作图，点到直线的距离等知识，解题的关键是理解三角形高的定义，垂线的定义，属于中考常考题型． 【举一反三】 【变式1】在中，是钝角，下列图中画边上的高线正确的是（    ） A．    B．   C．   D．   【答案】D 【分析】用三角形高的定义即可求解． 解：由三角形高的定义可知，只有D选项中的作法是画边上的高线， 故选D． 【点拨】本题主要考查了三角形高线的定义，熟练掌握从三角形的一个顶点向对边所在直线作垂线，顶点与垂足间的线段叫做三角形的高是解题的关键． 【变式2】如图，是的_________边上的高；在中，是_________上的高，还是_________的高；是_________的_________边上的高． 【答案】 / / 或