第09讲 提取公因式法因式分解-【暑假预习】2023年新七年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第09讲 提取公因式法因式分解 【知识梳理】 一．因式分解的意义 1、分解因式的定义： 把一个多项式化为几个整式的积的形式，这种变形叫做把这个多项式因式分解，也叫做分解因式． 2、因式分解与整式乘法是相反方向的变形，即互逆运算，二者是一个式子的不同表现形式．因式分解是两个或几个因式积的表现形式，整式乘法是多项式的表现形式．例如： 3、因式分解是恒等变形，因此可以用整式乘法来检验． 二．公因式 1、定义：多项式ma+mb+mc中，各项都含有一个公共的因式m，因式m叫做这个多项式各项的公因式． 2、确定多项式中各项的公因式，可概括为三“定”： ①定系数，即确定各项系数的最大公约数； ②定字母，即确定各项的相同字母因式（或相同多项式因式）； ③定指数，即各项相同字母因式（或相同多项式因式）的指数的最低次幂． 三．因式分解-提公因式法 1、提公因式法：如果一个多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提出来，从而将多项式化成两个因式乘积的形式，这种分解因式的方法叫做提公因式法． 2、具体方法： （1）当各项系数都是整数时，公因式的系数应取各项系数的最大公约数；字母取各项的相同的字母，而且各字母的指数取次数最低的；取相同的多项式，多项式的次数取最低的． 　（2）如果多项式的第一项是负的，一般要提出“﹣”号，使括号内的第一项的系数成为正数． 提出“﹣”号时，多项式的各项都要变号． 3、口诀：找准公因式，一次要提净；全家都搬走，留1把家守；提负要变号，变形看奇偶． 4、提公因式法基本步骤： 　　（1）找出公因式； 　　（2）提公因式并确定另一个因式： 　　①第一步找公因式可按照确定公因式的方法先确定系数再确定字母； 　　②第二步提公因式并确定另一个因式，注意要确定另一个因式，可用原多项式除以公因式，所得的商即是提公因式后剩下的一个因式，也可用公因式分别除去原多项式的每一项，求的剩下的另一个因式； 　　③提完公因式后，另一因式的项数与原多项式的项数相同． 【考点剖析】 一．因式分解的意义（共4小题） 1．（2022秋•黄浦区期中）下列等式中，从左到右的变形是多项式的因式分解的是（　　） A．（a+b）2＝a2+2ab+b2 B．x2﹣2x+5＝x（x﹣2）+5 C．a2﹣2ab+b2＝（a﹣b）2 D．x2+1＝x（x+） 2．（2022秋•静安区校级期中）在下列等式中，从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．2a2﹣3a+1＝a（2a﹣3）+1 B． C．（a+1）（a﹣1）＝a2﹣1 D．﹣4﹣x2y2+4xy＝﹣（2﹣xy）2 3．（2022秋•闵行区校级期末）下列各式从左到右的变形是因式分解的是（　　） A．a（a+b）＝a2+ab B．a2+2a+1＝a（a+2）+1 C．（a+b）（a﹣b）＝a2﹣b2 D．2a2﹣6ab＝2a（a﹣3b） 4．（2022秋•浦东新区校级期末）下列等式从左到右是因式分解，且结果正确的是（　　） A．a2+8a+16＝（a+4）2 B．（a+4）2＝a2+8a+16 C．a2+8a+16＝a（a+8）+16 D．a2+8（a+2）＝a2+8a+16 二．公因式（共7小题） 5．（2022秋•青浦区校级期中）单项式3a3b与单项式9a2b3的公因式是（　　） A．3a2b B．3a3b3 C．a2b D．a3b3 6．（2020秋•浦东新区期末）多项式3x﹣9，x2﹣9与x2﹣6x+9的公因式为（　　） A．x+3 B．（x+3）2 C．x﹣3 D．x2+9 7．（2022秋•嘉定区期中）多项式6x3y2﹣3x2y2+12x2y3的公因式是 　 　． 8．（2019秋•黄浦区校级期中）多项式4a（x﹣y）﹣6a2（x﹣y）中各项的公因式是　 　． 9．（2018秋•嘉定区期末）写出多项式x2﹣y2与多项式x2+xy的一个公因式　 　． 10．（2019秋•浦东新区期末）8x3y2和12x4y的公因式是　 　． 11．（2019秋•松江区期中）多项式：4x（x﹣y）﹣3（x﹣y）的公因式是　 　． 三．因式分解-提公因式法（共14小题） 12．（2022秋•徐汇区期末）分解因式：（x﹣5）（3x﹣2）﹣3（x﹣5）＝　 　． 13．（2022秋•嘉定区期中）分解因式：3x3﹣9x2﹣3x＝　 　． 14．（2022秋•宝山区校级期末）分解因式：4x2y﹣12xy＝　 　． 15．（2021秋•金山区期末）因式分解：6a2﹣8a3＝　 　． 16．（2021秋•奉贤区期末）分解因式：2m2n﹣mn2＝