湖南省长沙市长郡中学2023-2024学年高一上学期数学暑假自主学习作业本（六）函数与方程、函数的应用

高中暑假自主学习作业本·高一年级数学 数学作业六　函数与方程、函数的应用 【知识梳理】 1．函数的零点 (1)函数零点的定义 对于函数y＝f(x)，我们把使__________的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． (2)三个等价关系 方程f(x)＝0有实数解函数y＝f(x)的图象与x轴有交点函数y＝f(x)有________． (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条____________的曲线，并且有____________，那么，函数y＝f(x)在区间__________内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得____________，这个______也就是方程f(x)＝0的解． 2．二分法 对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把函数f(x)的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数f(x)零点的近似值． 3．有关函数零点的结论 (1)若连续不断的函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号． (3)连续不断的函数图象通过零点时，函数值可能变号，也可能不变号． 4．二次函数y＝ax2＋bx＋c (a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ＝0 Δ<0 二次函数y＝ax2＋bx＋c(a>0)的图象 与x轴的交点 ______________ ____________ 无交点 零点个数 ________ ________ __________ 【专题训练】 一、单选题 1．(★)下列函数不能用二分法求零点的是(　　)　　　　 A．f(x)＝4x－3 B．f(x)＝ln x＋2x－8 C．f(x)＝sin x＋1 D．f(x)＝x2－3x＋1 2．(★★)核酸检测在新冠疫情防控中起到了重要作用，是重要依据之一，核酸检测是用荧光定量PCR法进行的，通过化学物质的荧光信号，对在PCR扩增过程中的靶标DNA进行实时检测．已知被标靶的DNA在PCR扩增期间，每扩增一次，DNA的数量就增加p%.若被测标本DNA扩增5次后，数量变为原来的10倍，则p的值约为(　　) (参考数据：100.2≈1.585，10－0.2≈0.631) A．36.9 B．41.5 C．58.5 D．63.1 3．(★★)函数f(x)＝log2x－sin x＋的零点所在的区间为(　　) A．(，) B．(，1) C．(1，2) D．(2，3) 4．(★★)已知函数f(x)在区间(1，2)内有1个零点，用二分法求零点的近似值时，若精度小于0.01，则至少计算中点函数值(　　) A．5次 B．6次 C．7次 D．8次 二、多选题 5．(★)若函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象不间断，则下列结论错误的是(　　) A．若f(a)f(b)＞0，则f(x)在[a，b]上不存在零点 B．若f(a)f(b)＜0，则f(x)在[a，b]上至少有一个零点 C．若f(x)在(a，b)内有且只有一个零点，则f(a)·f(b)＜0 D．若f(x)在[a，b]上存在零点，则可用二分法求此零点的近似值 6．(★★)已知f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意x∈R，有f(1－x)＝－f(1＋x)，当x∈[0，1]时，f(x)＝x2＋x－2，则(　　) A．f(x)是以2为周期的周期函数 B．点(－3，0)是函数f(x)的一个对称中心 C．f(2021)＋f(2022)＝－2 D．函数y＝f(x)－log2(x＋1)有3个零点 7．(★★★)已知函数f(x)＝则以下结论正确的是(　　) A．函数f(x)为增函数 B．x1，x2∈[0，＋∞)，|f(x1)－f(x2)|＜1 C．若f(x)＜在x∈[n，＋∞)上恒成立，则n的最小值为2 D．若关于x的方程2mf2(x)＋(m＋2)f(x)＋1＝0(m∈R)有三个不同的实根，则－8≤m＜－4 三、填空题 8．(★★)已知函数f(x)＝|lg(x－1)|－k有两个零点分别为a，b，则a＋b的取值范围是__________． 9．(★★)设函数f(x)＝若互不相等的实数a，b，c满足f(a)＝f(b)＝f(c)，则2a＋2b＋2c的取值范围是________． 10．(★★★)x∈R，记[x]为不大于x的最大整数，{x}＝x－[x]，若x∈[0，3]，则关于x的不等式2[x]{x}＋1≥x＋{x}的解集为__________． 四、解答题 11．(★)某企业拟共用10万元投资甲、乙两种商品．已知各投入x万元，甲、乙两种商