预习课06 用空间向量研究直线、平面的垂直（讲+练）-【暑假教程】2023年高一升高二数学暑假复习+预习（人教A版2019选择性必修第一册）

预习课06 用空间向量研究直线、平面的垂直 1 线线垂直 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. 2 线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，(即证明是平面的法向量) 【例】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面( )　 A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定 3 面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【例】若平面与的法向量分别是，判断平面与的位置关系. 【例】已知平面，的法向量分别为，则（ ） A． B． C．，相交但不垂直 D．，的位置关系不确定 【题型一】 对空间向量证明线面垂直方法的理解 【典题1】 给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直； ②直线的方向向量，平面的法向量，则； ③平面、的法向量分别为，则； ④平面经过三点，向量是平面的法向量，则． 其中真命题的是　 　．（把你认为正确命题的序号都填上） 【巩固练习】 1已知直线的方向向量，的方向向量，且，则 . 2已知直线的一个方向向量，平面的一个法向量，若，则 . 3已知平面的一个法向量，平面的一个法向量，若，则　 　． 【题型二】 证明线面垂直 【典题1】 如图，在棱长为的正方体中，，，分别为、、的中点． (1)求异面直线与所成角的余弦值； (2)求证：平面； (3)试在棱上找一点，使平面，并证明你的结论． 变式练习 1.在长方体中，分别是棱上的点，， . 证明平面。 2.如图，已知四棱锥的底面为等腰梯形，，，与相交于点，且顶点在底面上的射影恰为点，又，，．设点在棱上，问点在什么位置时，平面． 【题型三】 证明面面垂直 【典题1】 如图，在直三棱柱中，，，为的中点． (1)证明：∥平面； (2)证明：平面平面． 变式练习 1.在如图所示的几何体中，四边形是正方形，平面，，分别为的中点，且.求证：平面平面. 2.在三棱锥中，平面，，，，分别为、的中点． (I)求证：平面平面； (II)在线段上是否存在一点，使？证明你的结论． 【A组---基础题】 1.已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面( )　 A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定 2.已知平面，的法向量分别为，则（ ） A． B． C．，相交但不垂直 D．，的位置关系不确定 3.已知平面，的法向量分别为，且，则 4.已知三棱锥中，面，，，为上一点，，分别为的中点.证明：. 5.在边长是2的正方体中，，分别为，的中点．应用空间向量方法求解下列问题． (1)求的长；(2)证明：平面；(3)证明：平面． 6.在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，，， ，． (Ⅰ)求证：平面； (Ⅱ)线段上是否存在点，使平面平面？证明你的结论． 【B组---提高题】 1.如图，四棱锥中．为矩形，，且，，，．为上一点，且． (1)求证：平面； (2)分别在线段上的点，是否存在，使且，若存在，确定的位置；若不存在，说明理由． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 预习课06 用空间向量研究直线、平面的垂直 1 线线垂直 设直线的方向向量分别是，则要证明，只需证明，即. 2 线面垂直 ①(法一)设直线的方向向量是，平面的法向量是，则要证明，只需证明，即 ②(法二)设直线的方向向量是，平面内的两个相交向量分别为， 若 ，(即证明是平面的法向量) 【例】已知直线的方向向量为，平面的法向量为，若，，则直线与平面( )　 A．垂直 B．平行 C．相交但不垂直 D．位置关系无法确定 解：若，，则，，则直线与平面垂直，故选：． 3 面面垂直 若平面的法向量为，平面的法向量为，要证， 只需证，即证. 【例】若平面与的法向量分别是，判断平面与的位置关系. 解 ，，平面与平面垂直 【例】已知平面，的法向量分别为，则（ ） A． B． C．，相交但不垂直 D．，的位置关系不确定 解 平面，的法向量分别为， 对于，，不平行，故错误； 对于，，不垂直； 对于，由得，相交但不垂直，故正确； 对于，，相交但不垂直，故错误． 故选：． 【题型一】 对空间向量证明线面垂直方法的理解 【典题1】 给出下列命题： ①直线的方向向量为，直线的方向向量，则与垂直； ②直线的方向向量，平面的法向量，则； ③平面、的法向量分别为，则； ④平面经过三点，向量是平面的法向量，则． 其中真命题的是　 　．（把你认为正确命题的序号都填上） 解析 对于①，， ，， 直线与垂直，①正