专题07 函数的奇偶性与周期性-2024年新高考数学高频考点+重点题型讲练测

专题07函数的奇偶性和周期性 1、 核心体系 二、关键能力 在学习函数基本性质的过程中，学生能理解数学知识之间的联系，建构知识框架，形成有论据、有条理、合乎逻辑的思维品质，增强数学交流能力。能够进一步提高数学运算能力，能有效借助运算方法解决实际问题，能够通过运算促进数学思维发展，养成程序化思考问题的习惯，形成一丝不苟、严谨求实的科学精神，在此过程中提高逻辑推理和数学运算能力。 三、教学建议 教学中，要结合 等函数，了解函数奇偶性的概念、图象和性质，并能判断一些简单函数的奇偶性（对一般函数的奇偶性，不要做深入讨论）。 函数各种性质的综合常常是命制高考数学试题的重要出发点和落脚点，在复习函数性质时应注意到数形结合思想、分类讨论、由特殊到一般（由一般到特殊）等数学思想方法的灵活运用。 四、高频考点 1.函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 奇函数 设函数y＝f(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，则这个函数叫做奇函数 关于原点对称 偶函数 设函数y＝g(x)的定义域为D，如果对D内的任意一个x，都有－x∈D，且g(－x)＝g(x)，则这个函数叫做偶函数 关于y轴对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期. (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期. 3.奇偶性常见结论 (1)如果一个奇函数f(x)在原点处有定义，即f(0)有意义，那么一定有f(0)＝0. (2)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|). (3)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性. 4.函数周期性常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x： (1)若f(x＋a)＝－f(x)，则T＝2a(a>0). (2)若f(x＋a)＝，则T＝2a(a>0). (3)若f(x＋a)＝－，则T＝2a(a>0). 5.对称性的三个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (2)若对于R上的任意x都有f(2a－x)＝f(x)或f(－x)＝f(2a＋x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称. (3)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，则函数y＝f(x)关于点(b，0)中心对称. 五、重点题型 考点一、奇偶性的判定 例1-1．下列四个函数中既是奇函数，又是增函数的是（ ） A． B． C． D． 例1-2【2021浙江卷】已知函数，则图象为如图的函数可能是（ ） A. B. C. D. 例1-3.【2021全国乙卷理】设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ） A. B. C. D. 对点训练 1.（2021·四川成都市·石室中学高二期中（理））已知函数，若不等式对恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.【2020年高考浙江】函数y=xcos x+sin x在区间[–π，π]上的图象可能是 3.【2021·湖北省丹江口市一中模拟】设f(x)＝ex＋e－x，g(x)＝ex－e－x，f(x)，g(x)的定义域均为R，下列结论错误的是(　　) A．|g(x)|是偶函数　　　　 B．f(x)g(x)是奇函数 C．f(x)|g(x)|是偶函数 D．f(x)＋g(x)是奇函数 4.【2020·全国Ⅱ卷】设函数，则f(x) A．是偶函数，且在单调递增 B．是奇函数，且在单调递减 C．是偶函数，且在单调递增 D．是奇函数，且在单调递减 考点二、利用奇偶性求解析式 例2-1.（1）(2019·全国卷Ⅱ)设f (x)为奇函数，且当x≥0时，f (x)＝ex－1，则当x<0时，f (x) ＝(　　) A．e－x－1 B．e－x＋1 C．－e－x－1 D．－e－x＋1 （2）（2019·北京高考真题（理））设函数f（x）=ex+ae−x（a为常数）．若f（x）为奇函数，则f（x）=________ 例2-2.【2022年全国乙卷】若是奇函数，则_____，______． 例2-3.设为定义在R上的奇函数，当时，(为常数)，则不等式的解集为（ ） A． B． C． D． 训练题组 1．（2023·新高考1卷）若为偶函数，则（    ）． A． B．0 C． D．1 2．（2023·新高考2卷）已知是偶函数，则（    ） A． B． C．1 D．2 3．（2023·全国乙卷）若为偶函数，则________