第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系-【暑假预科讲义】2023年高一升高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第15讲 直线和圆锥曲线的位置关系 【人教A版2019】 ·模块一 直线与椭圆的位置关系 ·模块二 直线与双曲线的位置关系 ·模块三 直线与抛物线的位置关系 ·模块四 课后作业 模块一 直线与椭圆的位置关系 1．点与椭圆的位置关系 (1)点与椭圆的位置关系： (2)对于点与椭圆的位置关系，有如下结论： 点在椭圆外+>1; 点在椭圆内+<1; 点在椭圆上+=1. 2．直线与椭圆的位置关系 (1)直线与椭圆的三种位置关系 类比直线与圆的位置关系，直线与椭圆有相离、相切、相交三种位置关系，如图所示. (2)利用方程讨论直线与椭圆的位置关系： >0直线与椭圆相交有两个公共点; =0直线与椭圆相切有且只有一个公共点; <0直线与椭圆相离无公共点. 3．弦长问题 (1)定义：直线与椭圆的交点间的线段叫作椭圆的弦. (2)弦长公式：设直线l:y=kx+m交椭圆+=1 (a>b>0)于，两点， 则或. 4．“中点弦问题” (1)解决椭圆中点弦问题的两种方法 ①根与系数的关系法：联立直线方程和椭圆方程构成方程组，消去一个未知数，利用一元二次方程根与系 数的关系以及中点坐标公式解决. ②点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入椭圆方程，然后作差，构造出中点坐 标和斜率的关系. 设，，代入椭圆方程+=1 (a>b>0)， 得， ①-②可得+=0， 设线段AB的中点为，当时，有+=0. 因为为弦AB的中点，从而转化为中点与直线AB的斜率之间的关系，这就是处理弦中点轨迹问题的常用方法. (2)弦的中点与直线的斜率的关系 线段AB是椭圆+=1 (a>b>0)的一条弦，当弦AB所在直线的斜率存在时，弦AB的中点M的坐标为，则弦AB所在直线的斜率为，即. 【考点1 判断直线与椭圆的位置关系】 【例1.1】（2023春·江西吉安·高二校考期中）直线与椭圆的位置关系是（     ） A．相离 B．相切 C．相交 D．无法确定 【例1.2】（2023春·上海浦东新·高二统考期中）已知椭圆，直线，则直线l与椭圆C的位置关系为（    ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【变式1.1】（2023春·新疆昌吉·高二校考开学考试）若直线和圆没有交点，则过点的直线与椭圆的交点个数为（ ） A．0个 B．至多有一个 C．1个 D．2个 【变式1.2】（2023·全国·高三专题练习）已知直线与椭圆，点，则下列说法正确的是（    ） A．若点A在椭圆C外，则直线l与椭圆C相离 B．若点A在椭圆C上，则直线l与椭圆C相切 C．若点A在椭圆C内，则直线l与椭圆C相交 D．若点A在直线l上，则直线l与椭圆C的位置关系不确定 【考点2 椭圆的弦长问题】 【例2.1】（2023·全国·高三对口高考）通过椭圆的焦点且垂直于x轴的直线l被椭圆截得的弦长等于（    ） A． B．3 C． D．6 【例2.2】（2023·全国·高二专题练习）已知椭圆的左、右焦点分别为、，过且斜率为1的直线交椭圆于A、两点，则等于（    ） A． B． C． D． 【变式2.1】（2023春·四川泸州·高三校考开学考试）斜率为1的直线与椭圆相交于A，B两点，则的最大值为（　　） A．2 B． C． D． 【变式2.2】（2023·全国·高二专题练习）过椭圆的左焦点F作倾斜角为60°的直线l与椭圆C交于A、B两点，则（    ） A． B． C． D． 【考点3 椭圆的“中点弦”问题】 【例3.1】（2023·全国·高三专题练习）已知椭圆C： ，过点的直线l与椭圆C交于A，B两点，若点P恰为弦AB的中点，则直线l的斜率是（    ） A． B． C． D． 【例3.2】（2023·河南·校联考模拟预测）已知直线与椭圆交于两点，若点恰为弦的中点，则椭圆的离心率是（    ） A． B． C． D． 【变式3.1】（2023秋·湖北·高二校联考期末）已知椭圆，过点的直线与椭圆相交于，两点，且弦被点平分，则直线的方程为（    ） A． B． C． D． 【变式3.2】（2023春·广西防城港·高三统考阶段练习）A，B是椭圆上两点，线段AB的中点在直线上，则直线AB与y轴的交点的纵坐标的取值范围是（    ）. A． B． C． D． 模块二 直线与双曲线的位置关系 1．直线与双曲线的位置关系 (1)研究直线与双曲线的位置关系： 一般通过直线方程与双曲线方程所组成的方程组的解的个数进行判断. ①代入②得. 当=0，即时，直线与双曲线的渐近线平行时，直线与双曲线交于一点. 当0，即时，=. >0直线与双曲线有两个交点,称直线与双曲线相交； =0直线与双曲线有一个交点,称直线与双曲线相切； <0直线与双曲线没有交点,称直线与双曲线相离. (2)对直线与双