3.3 幂函数-2023-2024学年高一数学《赢在新起点》同步课堂备课讲义（人教A版2019必修第一册）

3.3幂函数 知识点 1 定义 一般地，形如的函数称为幂函数，其中是 ，为常数． 2 常见幂函数图像 3 性质 ① 所有的幂函数在都有定义，并且图象都过点； ② 时，幂函数的图象通过原点，并且在上是 ． 特别地，当时，幂函数变化快，图象下凹；当时，幂函数变化慢，图象上凸； ③ 时，幂函数的图象在上是 ．在第一象限内，当从右边趋向原点时，图象在轴右方无限地逼近轴正半轴，当趋于时，图象在轴上方无限地逼近轴正半轴． 典型例题 1、 图中曲线是幂函数在第一象限的图象，已知取四个值，则相应于曲线，的依次为(　　) ． ． 2、 已知幂函数y，的图象如图所示，则(　　) 均为奇数，且 为偶数，为奇数，且 为奇数，为偶数，且 为奇数，为偶数，且 3、 已知幂函数的图象关于原点对称，且在上是减函数，则(　　) 或 基础题型训练 一、单选题 1．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的是（    ） A．是偶函数 B．在定义域上是单调递增函数 C．的值域为 D．在定义域内有最大值 2．已知函数，不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 3．已知函数是偶函数，且在区间上单调递增，则下列实数可作为值的是（    ） A．-2 B． C．2 D．3 4．已知幂函数在区间上是单调递增函数，则实数的值是（    ） A．-1或4 B．4 C．-1 D．1或4 5．若幂函数的图象过点，则函数 的最大值为(　　)． A．1 B． C．2 D． 6．已知函数，若，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列关于幂函数的性质，描述正确的有（    ） A．当时函数在其定义域上是减函数 B．当时函数图象是一条直线 C．当时函数是偶函数 D．当时函数在其定义域上是增函数 8．关于幂函数，下列说法正确的是（    ） A．若，则的定义域是 B．若，则是减函数 C．若的图象经过点，则其解析式为 D．若，则对于任意的，都有 三、填空题 9．幂函数的定义域为______; 10．设．使为偶函数且在上单调递增的值为_______． 11．幂函数y＝f（x）的图象经过点，则的值为___ 12．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则的取值集合为______. 四、解答题 13．已知幂函数的图像经过点，求的值. 14．已知是幂函数，求m，n的值. 15．已知函数. （1）若函数是定义在上的奇函数，求的值； （2）用单调性的定义证明函数在是增函数. 16．画出函数的图象，并判断函数的奇偶性，讨论函数的单调性. 提升题型训练 一、单选题 1．下列命题中，不正确的是（    ） A．幂函数y=x-1是奇函数 B．幂函数y=x2是偶函数 C．幂函数y=x既是奇函数又是偶函数 D．y=既不是奇函数，又不是偶函数 2．若幂函数在上单调递增，则（    ） A．3 B．1或3 C．4 D．4或6 3．幂函数经过点（2，8），则是（    ） A．偶函数，且在上是增函数 B．偶函数，且在上是减函数 C．奇函数，且在上是减函数 D．奇函数，且在上是增函数 4．已知函数是幂函数且是上的增函数，则的值为(　　) A．2 B．－1 C．－1或2 D．0 5．已知幂函数，对任意，且，有，若函数（其中且）在R上单调递增，则实数a的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“稳定型函数”.则下列函数中是“稳定型函数”的有(　　)个 ①；②； ③；④. A．1 B．2 C．3 D．4 二、多选题 7．已知幂函数的图象经过点，则下列命题正确的有（    ） A．该函数在定义域上是偶函数 B．对定义域上任意实数，，且，都有 C．对定义域上任意实数，，且，都有 D．对定义域上任意实数，，都有 8．已知幂函数的图象经过点(9,3)，则下列结论正确的有（    ） A．为偶函数 B．为增函数 C．若，则 D．若，则 三、填空题 9．已知幂函数过点,则其解析式为____________________ 10．已知函数是偶函数，且当时，，则_________. 11．下列说法中错误的有______.（填序号） ①幂函数的图像不过第四象限； ②的图像是一条直线； ③若函数的定义域是，则它的值域是； ④若函数的值域是，则它的定义域一定是. 12．若函数定义在R上的奇函数，且在上是增函数，又，则不等式的解集为__________. 四、解答题 13．函数是幂函数，且在上为增函数，则实数m的值是多少？ 14．已知幂函数的图象经过点 (1)试求的