3.2 函数的基本性质-2023-2024学年高一数学《赢在新起点》同步课堂备课讲义（人教A版2019必修第一册）

3.2函数的基本性质 知识点 一、函数的单调性和最值 1、函数单调性的概念 一般地，设函数的定义域为，区间: 如果，当时，都有，那么就说在区间上 (图①).特别地，当函数在它定义域上单调递增时，我们就称它是增函数. 如果，当时，都有，那么就说在区间上 减(图②).特别地，当函数在它定义域上单调递减时，我们就称它是减函数. Eg：在上单调递减，但它不是减函数， 特别注意它的减区间是，不是. 2 单调性概念的拓展 ① 若递增，，则 . 比如：递增，则 ② 若递增，，则. 比如：递增则. 递减，有类似结论！ 3 判断函数单调性的方法 ① 定义法 解题步骤 (1) 任取，且； (2) 作差； (3) 变形(通常是因式分解和配方)； (4) 定号(即判断差的正负)； (5) 下结论(指出函数在给定的区间上的单调性)． ② 数形结合 ③ 性质法 增函数+增函数= ，减函数+减函数= ； 但增函数增函数不一定是增函数，比如，均是增函数，而不是. ④ 复合函数的单调性 (1)如果则称为的复合函数； 比如： (和的复合函数)； (和的复合函数)； (和的复合函数). (2) 同增异减 设函数的值域是，函数 若在各自区间单调性相同，则复合函数在区间上递增； 若在各自区间单调性不同，则复合函数在区间上递减. 4 函数的最值 一般地，设函数的定义域为，如果存在实数满足： (1) ，都有；(2)，使得； 那么，我们称是函数的 .(最小值类似定义) 简单来说，最大值和最小值分别是函数图像中 和 的函数值. 二、函数的奇偶性 1.函数奇偶性的概念 ① 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做 . ② 一般地，设函数的定义域为，如果，都有，且，那么函数就叫做 . 由奇偶函数的概念可知道其定义域是关于原点对称的. 2 性质 ① 偶函数关于 对称； ② 奇函数关于 对称； ③ 若奇函数定义域内含有，则； ④ 在公共定义域内，两个偶函数(或奇函数)的和(或差)仍是偶函数(或奇函数)，两个偶函数(或奇函数)的积(或商)是偶函数，一个偶函数与一个奇函数的积(或商)是奇函数． 3 判断函数奇偶性的方法 ① 定义法 先判断定义域是否关于原点对称，再求看下与的关系：若，则是偶函数；若，则是奇函数. ② 数形结合 若函数关于原点对称，则函数是 ；若函数关于轴对称，则函数是 . ③ 取特殊值排除法(选择题) 比如：若根据函数得到，则排除是偶函数. ④ 性质法 偶函数的和、差、积、商(分母不为)仍为偶函数；奇函数的和、差 (分母不为)仍为奇函数； 奇(偶)数个奇函数的积为奇(偶)函数；两个奇函数的商(分母不为)为偶函数； 一个奇函数与偶函数的积为 . 对于复合函数的奇偶性如下图 偶函数 偶函数 偶函数 奇函数 奇函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 奇函数 偶函数 偶函数 典型例题 1、 已知是定义在上单调递增的函数，则满足的取值范围是 . 2、判断在的单调性. 3、函数的单调增区间是 (　　) 4、 函数的图象关于(　　)对称 ．原点 ． ．轴 ．轴 5、 若函数的定义域是，且对任意，都有成立．试判断的奇偶性． 6、设为定义上上的奇函数，当时，为常数)，求. 7、函数的图象大致为(　　) A． B． C． D． 基础题型训练 一、单选题 1．下列四个函数中，在区间上为增函数的是 A． B． C． D． 2．已知奇函数在区间上是增函数，且最大值为10，最小值为4，则其在上的最大值、最小值分别是 A．， B．， C．， D．不确定 3．对于函数，，“”是“的图象既关于原点对称又关于轴对称”的（    ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．下列函数中，既是奇函数又是增函数的为（    ） A． B． C． D． 5．设函数与的定义域是，函数是一个偶函数，是一个奇函数，且，则等于（    ） A． B． C． D． 6．已知函数为定义在上的奇函数，，且在上单调递减，则的解集为（    ） A． B． C． D． 二、多选题 7．下列函数中，在区间上为增函数的是（    ） A． B． C． D． 8．已知函数是偶函数，是奇函数，并且当，，则下列选项正确的是（    ） A． 在上为减函