专题2.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型）-2023-2024学年九年级数学上册《重难点题型•高分突破》（人教版）

专题2.4 求二次函数解析式常考类型（六大题型） 重难点题型归纳 【题型1 开放型】 【题型2 一般式】 【题型3 顶点式】 【题型4两根式】 【题型5平移变换型】 【题型6 对称变换型】 【题型1 开放型】 【典例1】（2023•上海）一个二次函数y＝ax2+bx+c的顶点在y轴正半轴上，且其对称轴左侧的部分是上升的，那么这个二次函数的解析式可以是 ． 【变式1-1】（2023•锡山区校级模拟）写出一个顶点坐标是（1，2）且开口向下的抛物线的解析式 　 　． 【变式1-2】（2023•静安区校级一模）请写出一个以直线x＝3为对称轴，且在对称轴左侧部分是下降的抛物线，这条抛物线的表达式可以是 　 　．（只要写出一个符合条件的抛物线表达式） 【题型2 一般式】 【方法点拨】当题目给出函数图像上的三个点时，设为一般式（，，为常数，），转化成一个三元一次方程组，以求得a，b，c的值； 【典例2】已知在平面直角坐标系xOy中，二次函数 的图像经过点A（1，0）、B（0，-5）、C（2，3）．求这个二次函数的解析式，并求出其图像的顶点坐标和对称轴． 【变式2-1】已知二次雨数：y=x2+bx+c过点(1，0)，(0，-3)。求该二次函数的解析式 【变式2-2】一个二次函数的图象经过A（0，0），B（1，9），C（-1，-1），求这个二次函数的解析式． 【变式2-3】（秋•荔城区校级期中）如图所示，四边形ABCD是平行四边形，过点A、C，D作抛物线y＝ax2+bx+c（a≠0），点A，B，D的坐标分别为（﹣2，0），（3，0），（0，4），求抛物线的解析式． 【题型3 顶点式】 【方法点拨】若已知抛物线的顶点或对称轴、最值，则设为顶点式．这顶点坐标为（ h，k ），对称轴直线x = h，最值为当x = h时，y最值=k来求出相应的系数. 【典例3】（2022秋•澄海区期末）已知抛物线的顶点坐标是（2，﹣3），且与y轴的交点坐标为（0，5），则该抛物线的解析式为 　　． 【变式3-1】（2022秋•济南期末）已知二次函数的最小值为﹣3，这个函数的图象经过点（1，﹣2），且对称轴为x＝2，则这个二次函数的表达式为 　 ． 【变式3-2】（2023•肃州区校级开学）抛物线和y＝2x2的图象开口方向、开口大小都相同，对称轴平行于y轴，顶点为（﹣1，3），则该抛物线的解析式为 　 　． 【变式3-3】（2022秋•黄骅市校级期中）若某二次函数图象的形状与抛物线y＝3x2相同，且顶点坐标为（0，﹣2），则它的表达式为　 ． 【变式3-4】已知抛物线的顶点坐标为(1，﹣2)，与y轴交于点(0，﹣4)，求抛物线的解析式． 【变式3-5】已知抛物线过点A（－1，0），B（0，6），对称轴为直线x＝1， 求该抛物线的解析式． 【题型4两根式】 【方法点拨】 已知图像与 x轴交于不同的两点，设二次函数的解析式为，根据题目条件求出a的值． 【典例4】（2022秋•雄县期末）已知关于x的二次函数y＝x2+bx+c的图象过点（﹣1，0），（3，0）． （1）求这个二次函数的解析式； （2）求当﹣2≤x≤2时，y的最大值与最小值的差； （3）若点P（﹣3，y1），Q（q，y2）在该二次函数的图象上，且y1＜y2，请直接写出q的取值范围． 【变式4-1】（2023•荔湾区校级一模）如图，二次函数y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），B（5，0），C（0，﹣5），点D是抛物线的顶点，过D作x轴垂线交直线BC于E． （1）求此二次函数解析式及点D坐标． （2）连接CD，求三角形CDE的面积． （3）ax2+bx+c＞0时，x的取值范围是 　　． 【变式4-2】（2023•南山区三模）如图，抛物线y＝ax2+bx+c经过点A（﹣1，0），点B（3，0），且OB＝OC． （1）求抛物线的表达式； （2）如图，点D是抛物线的顶点，求△BCD的面积． 【变式4-3】（2023•雁塔区校级模拟）如图，抛物线L：y＝ax2+x+c与x轴交于点A（﹣2，0），B（3，0），与y轴交于点C． （1）求抛物线L表达式及顶点坐标； （2）设抛物线L'与L关于x轴对称．平移线段OC，使得点O恰好平移至抛物线L上一点P，点C恰好平移至抛物线L'上一点Q，请求出此时P、Q的坐标． 【题型5平移变换型】 【方法点拨】将一个二次函数的图像经过上下左右的平移得到一个新的抛物线．要借此类题目，应先将已知函数的解析是写成顶点式y = a( x – h)2 + k，当图像向左（右