第14讲 直线的方程8种常见考法归类-【暑假自学课】2023年新高二数学暑假精品课（人教A版2019选择性必修第一册）

第14讲 直线的方程8种常见考法归类 根据确定直线位置的几何要素，探索并掌握直线方程的几种形式(点斜式、斜截式、两点式、截距式及一般式)，体会斜截式与一次函数的关系. 知识点1 直线方程的点斜式、斜截式 名称 条件 方程 图形 点斜式 直线l过定点P(x0，y0)，斜率为k y－y0＝k(x－x0) 斜截式 直线l的斜率为k，且与y轴的交点为(0，b)(直线l与y轴的交点(0，b)的纵坐标b叫做直线l在y轴上的截距) y＝kx＋b 注：1．直线的点斜式及斜截式方程适用条件是什么？ 斜率存在及已知点(或直线在y轴上的截距)． 2．经过点P0(x0，y0)的直线有无数条，可以分为两类： (1)斜率存在的直线，方程为y－y0＝k(x－x0)； (2)斜率不存在的直线，方程为x－x0＝0，即x＝x0. 3．当直线与x轴平行或重合时，方程可简写为y＝y0.特别地，x轴的方程是y＝0；当直线与y轴平行或重合时，不能应用点斜式方程．此时可将方程写成x＝x0.特别地，y轴的方程是x＝0. 4．直线的斜截式y＝kx＋b是直线的点斜式y－y0＝k(x－x0)的特例．如：直线l的斜率为k且过点(0，b)，该直线方程为y＝kx＋b. 5．纵截距不是距离，它是直线与y轴交点的纵坐标，所以可取一切实数，即可为正数、负数或零． 6．斜截式方程与一次函数的解析式相同，都是y＝kx＋b的形式，但有区别：当k≠0时，y＝kx＋b为一次函数；当k＝0时，y＝b，不是一次函数．故一次函数y＝kx＋b(k≠0)一定可看成一条直线的斜截式方程． 知识点2　直线的两点式与截距式方程 两点式 截距式 条件 P1(x1，y1)和P2(x2，y2) 其中x1≠x2，y1≠y2 在x轴上截距a，在y轴上截距b 图形 方程 ＝ ＋＝1 适用范围 不表示垂直于坐标轴的直线 不表示垂直于坐标轴的直线及过 原点的直线 注：（1）两点式方程 ①利用两点式求直线方程必须满足x1≠x2且y1≠y2，即直线不垂直于坐标轴． （即：当经过两点(x1，y1)，(x2，y2)的直线斜率不存在(x1＝x2)或斜率为0(y1＝y2)时，不能用两点式方程表示．） ②两点式方程与这两个点的顺序无关． ③方程中等号两边表达式中分子之比等于分母之比，也就是同一条直线的斜率相等． （2） 截距式方程 ①如果已知直线在两坐标轴上的截距，可以直接代入截距式求直线的方程． ②将直线的方程化为截距式后，可以观察出直线在x轴和y轴上的截距，这一点常被用来作图． ③与坐标轴平行和过原点的直线都不能用截距式表示． ④过原点的直线的横、纵截距都为零． 知识点3　直线的一般式方程 1．定义：关于x，y的二元一次方程 Ax＋By＋C＝0(其中A，B不同时为0)叫做直线的一般式方程，简称一般式． 2．系数的几何意义：当B≠0时，则－＝k(斜率)，－＝b(y轴上的截距)； 当B＝0，A≠0时，则－＝a(x轴上的截距)，此时不存在斜率． 3．直线一般式方程的结构特征 ①方程是关于x，y的二元一次方程． ②方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列． ③x的系数一般不为分数和负数． ④虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程． 4.当直线方程Ax＋By＋C＝0的系数A，B，C满足下列条件时，直线Ax＋By＋C＝0有如下性质： ①当A≠0，B≠0时，直线与两条坐标轴都相交； ②当A≠0，B＝0，C≠0时，直线只与x轴相交，即直线与y轴平行，与x轴垂直； ③当A＝0，B≠0，C≠0时，直线只与y轴相交，即直线与x轴平行，与y轴垂直； ④当A＝0，B≠0，C＝0时，直线与x轴重合； ⑤当A≠0，B＝0，C＝0时，直线与y轴重合． 注：（1）平面直角坐标系中的每一条直线都可以用一个关于x，y的二元一次方程表示 （2）每一个关于x，y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A，B不同时为零)都能表示一条直线 1、求直线的点斜式方程的方法步骤 (1)求直线的点斜式方程的步骤：定点(x0，y0)→定斜率k→写出方程y－y0＝k(x－x0)； (2)点斜式方程y－y0＝k(x－x0)可表示过点P(x0，y0)的所有直线，但x＝x0除外．　 2、直线的斜截式方程的求解策略 (1)斜截式方程的应用前提是直线的斜率存在． (2)用斜截式求直线方程，只要确定直线的斜率和截距即可，同时要特别注意截距和距离的区别； (3)直线的斜截式方程y＝kx＋b不仅形式简单，而且特点明显，k是直线的斜率，b是直线在y轴上的截距，只要确定了k和b的值，直线的图象就一目了然．因此，在解决一次函数的图象问题时，常通过把一次函数解析式化为直线的斜截式方程，利用k，b的几何意义进行判断