第15讲　变化率与导数、导数的运算-2024高三一轮复习讲义

第15讲　变化率与导数、导数的运算 1、 基础知识 1.变化率与导数 (1)平均变化率: 概念 对于函数y=f(x),称=或=为函数y=f(x)在以x1,x2为端点的闭区间上的　　　　变化率  几何意义 这个区间端点对应的函数图象上两点连线的　　　  物理意义 若物体运动的位移x m与时间t s 的关系为x=h(t),则物体在某段时间内的　　　　等于x=h(t)在该段时间内的平均变化率  (2)导数: 概念 在x0处 ==k,我们称常数k为函数y=f(x)在　　　　处的导数,记作f'(x0)=k  几何意义 f'(x0)就是曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处(也称在x=x0处)的切线的　　　　,其切线方程是　　　　　　　　　　　　　  物理意义 函数y=f(x)表示变速运动的质点的运动方程,则函数在x=x0处的导数就是质点在x=x0时的　　　　速度,在(a,b)内的导数就是质点在(a,b)内的　　　　方程  2.导数的运算 常用导数公式 原函数 导函数 特例或推广 常数函数 C'=0(C为常数) 幂函数 (xα)'=　　　　(α∈R,α≠0) '=- 三角函数 (sin x)'=　　　　, (cosx)'= 偶(奇)函数的导数是奇(偶)函数, 周期函数的导数是周期函数 指数函数 (ax)'=　　　　(a>0,且a≠1) (ex)'=ex 对数函数 (logax)'=　　　　(a>0,且a≠1) (ln x)'=,(ln|x|)'= 四则运算法则 加减 [f(x)±g(x)]'= fi(x)'=f'i(x) 乘法 [f(x)·g(x)]'= [Cf(x)]'=Cf'(x) 除法 '=(g(x)≠0) '=- 复合函数求导 复合函数的导数h'(x)与f'(u),g'(x)之间的关系为:h'(x)={f[g(x)]}'=　　　　　　　　=　　　　　　,这一结论也可以表示为　　　　　　　  2、 分类训练 探究点一　平均变化率与瞬时变化率 例1 (1)若函数f(x)=x2+x,则函数f(x)在[-1,2]上的平均变化率为 (　　) A.0 B.2 C.3 D.6 (2)放射性元素由于不断有原子放射出微粒子而变成其他元素,其含量不断减少,这种现象称为衰变.假设在放射性同位素铯-137衰变过程中,其含量M(单位:太贝克)与时间t(单位:年)满足函数关系M=f(t),且f(t)=600×,则铯-137的含量M在t=30时的瞬时变化率为 (　　) A.-10ln 2 太贝克/年 B.300ln 2 太贝克/年 C.-300ln 2 太贝克/年 D.300 太贝克/年 [总结反思] (1)平均变化率的计算,先计算Δf=f(x+Δx)-f(x)与Δx=(x+Δx)-x,再计算=;(2)函数y=f(x)在x=x0处的瞬时变化率的计算公式为=f'(x0),特别要注意增量的匹配. 变式题 (1)(多选题)若物体的运动规律是s=f(t),则物体在时刻t0的瞬时速度可以表示为 (　　) A. B. C.f'(t0) D.f'(t) (2)若f'(x0)=3,则= (　　) A.3 B.9 C. D.6 探究点二　导数的运算 例2 (1)(多选题)下列求导数运算正确的是 (　　) A.[ln(1-2x)]'= B.(log3x)'= C.(x2sin x)'=2xcos x D.'= (2)已知函数f(x)=sin x-cos x,f'(x)是f(x)的导函数,若f'(x0)=2f(x0),则= (　　) A.- B. C. D.- (3)已知函数f(x)的导函数为f'(x),且满足f(x)=3xf'(1)+2ln x,则f'(1)= (　　) A.-e B.-1 C.1 D.e (4)已知f(x)=x·(a+ln x),若f'(e)=1,则a=　　　　.  [总结反思] (1)对于复杂函数的求导,首先应利用代数、三角恒等变换等变形规则对函数解析式进行化简,之后再求导,这样可以减少运算量,提高运算速度.(2)利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号,不要与求导的乘法公式混淆. 探究点三　导数的几何意义 角度1　求切线方程 例3 曲线y=x2-ln(2x)在某点处的切线的斜率为-,则该切线的方程为 (　　) A.3x+2y-1=0 B.3x+2y+1=0 C.6x+4y-5=0 D.12x+8y-7=0 [总结反思] (1)曲线y=f(x)在点(x0,f(x0))处的切线方程