函数与方程-2024高三一轮复习讲义

第13讲　函数与方程 1、 基础知识 1.函数的零点 (1)函数零点的定义 一般地,如果函数y=f(x)在实数α处的函数值等于　　　　,即　　　　,则称α为函数y=f(x)的零点.  (2)等价关系 方程f(x)=0有实数根⇔函数y=f(x)的图象与　　　有交点⇔函数y=f(x)有　　　　.  (3)函数零点的判定(函数零点存在定理) 如果函数y=f(x)在区间[a,b]上的图象是　　　　的,并且　　　　(即在区间两个端点处的函数值异号),则函数y=f(x)在区间(a,b)中至少有一个零点,即　　　　　　　　　　　　.  2.二次函数y=ax2+bx+c(a>0)的图象与零点的关系 Δ>0 Δ=0 Δ<0 二次函数y=ax2+bx+c(a>0) 的图象 与x轴的交点 　　　  　　　  　　　  无交点 零点个数 　　　  　　　  　　　  2、 常用结论 1.在区间D上单调的函数在该区间内至多有一个零点. 2.周期函数如果存在零点,则必有无穷个零点. 3、 分类训练 探究点一　函数零点所在区间的判断 例1 (1)函数f(x)=ln x- 的零点所在的区间是 (　　) A.(1,2) B.(2,3) C.(3,4) D.(4,+∞) (2)已知[x]表示不超过实数x的最大整数,设g(x)=[x],x0是函数f(x)=ln x+x-4的零点,则g(x0)= (　　) A.4 B.5 C.2 D.3 [总结反思] 判断函数零点所在区间的方法:(1)解方程法,当对应方程易解时,可直接解方程;(2) 函数零点存在定理;(3)数形结合法,画出相应函数图象,观察与x轴的交点来判断,或转化为两个函数的图象在所给区间上的交点的横坐标来判断. 变式题 已知函数f(x)=x2-2x,则在下列区间中,y=f(x)一定有零点的是 (　　) A.(-3,-2) B.(-1,0) C.(2,3) D.(4,5) 探究点二　函数零点个数的讨论 例2 (1)已知图象连续不断的函数f(x)的定义域为R,f(x)是周期为2的奇函数,y=|f(x)|在区间[-1,1]上恰有5个零点,则f(x)在区间[0,2020]上的零点个数为 (　　) A.5050 B.4041 C.4040 D.2020 (2)已知函数f(x)=则 (　　) A.对任意实数t,方程f[f(x)]-t=0无根 B.存在实数t,方程f[f(x)]-t=0有2个不同的根 C.存在实数t,方程f[f(x)]-t=0有3个不同的根 D.对任意实数t,方程f[f(x)]-t=0只有1个根 [总结反思] 求解函数零点个数的基本方法有:(1)直接法,令f(x)=0,方程有多少个解则f(x)有多少个零点;(2)定理法,利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等;(3)图象法,一般是把函数拆分为两个简单函数,依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数. 变式题 (1)函数f(x)=log3|x|-|sin πx|在区间[-2,0)∪(0,3]上零点的个数为 (　　) A.5 B.6 C.7 D.8 (2)已知函数f(x)=则方程2[f(x)]2-3f(x)-2=0的实根个数为 (　　) A.2 B.3 C.4 D.5 探究点三　函数零点的应用 角度1　根据零点个数求参数值或范围 例3 (1)已知函数f(x)=若函数g(x)=f(x)+1有三个零点,则实数m的取值范围是 (　　) A.(2,+∞) B.(2,3] C.[2,3) D.(1,3) (2)若对任意的m∈[0,1],总存在唯一的x∈[-1,1],使得m+x2ex-a=0成立,则实数a的取值范围是 (　　) A.[1,e] B.(1+,e] C.(0,e] D.[1+,e] [总结反思] 已知函数有零点求参数取值范围常用的方法和思路: (1)直接法:直接根据题设条件构建关于参数的不等式,再通过解不等式确定参数范围; (2)分离参数法:先将参数分离,然后转化成求函数值域的问题加以解决; (3)数形结合法:先对解析式变形,在同一平面直角坐标系中画出函数的图象,然后数形结合求解. 变式题 (1)(多选题)已知定义在R上的函数f(x)的图象的对称轴为直线x=-3,且当x≥-3时,f(x)=2x-3.若函数f(x)在区间(k-1,k)(k∈Z)上有零点,则k的值可能为 (　　) A.2 B.-2 C.-7 D.-8 (2)已知函数f(x)=若方程f(x)=x+a有且只有两个不相等的实数根,则实数a的取值范围是 (　　) A.(-∞,1) B.(-∞,1] C.(0,1) D.[0,+∞) (3)若函数f(x)=|x-3|+ex-3+e3-x+m有唯一零点,则实数m的值为 (　　) A.0 B.-2 C.