破解高考中常见复合函数的秘诀-2024高三一轮复习讲义

思维训练1 破解高考中常见复合函数的秘诀 类型一　对勾型函数例如:y=f(x)+ 1.对勾函数y=ax+(a>0,b>0)的性质 (1)奇偶性:奇函数,函数图象整体呈两个“对勾”的形状,且函数图象关于原点对称,即f(x)+f(-x)=0. (2)单调性:函数f(x)在-∞,-上为增函数,在-,0上为减函数,在0,上为减函数,在,+∞上为增函数. (3)最值: 当x>0时,函数y=f(x)在x=时取得最小值2. 当x<0时,函数y=f(x)在x=-时取得最大值-2. 2.题型攻略·深度挖掘 [技能方法] 解决此类问题一般要先求函数的定义域,在定义域内研究函数的相关性质,最好先画出函数的图象,利用数形结合思想,解决相应问题. [易错指导] 注意定义域先行原则,必须先求出函数的定义域,在定义域内解决相应问题. 3.举一反三·触类旁通 例1 (1)已知函数f(x)=a-e-x-ex(a为常数)存在两个不同的零点,则实数a的取值范围是 (　　) A.[1,+∞) B.[2,+∞) C.(2,+∞) D.(1,+∞) (2)关于函数f(x)=sin x+有如下四个命题: ①f(x)的图象关于y轴对称. ②f(x)的图象关于原点对称. ③f(x)的图象关于直线x=对称. ④f(x)的最小值为2. 其中所有真命题的序号是　　　　.  [一通百通] 破解关于对勾型函数的复合函数与命题的真假性判断交汇题的方法: (1)定义法:利用对勾函数的奇偶性与其他函数的奇偶性的定义,即可判断命题的真假. (2)性质法:利用对勾函数的性质和其他函数的单调性、周期性、对称性等,判断命题的真假. (3)举反例法:判断对勾型函数的最值为假命题问题,可以利用对勾型函数的单调性直接求出其最值,从而说明其为假命题,也可以利用举出反例,来说明其为假命题,但前者没有后者获得结果快捷. 变式题 (1)已知函数f(x)=xn+(n为正整数),有下列四种说法: ①函数f(x)始终为奇函数; ②当n为偶数时,函数f(x)的最小值为4; ③当n为奇数时,函数f(x)的极小值为4; ④当n=1时,函数y=f(x)的图象关于直线y=2x对称. 其中所有正确说法的序号是 (　　) A.①② B.②③ C.②④ D.③④ (2)已知函数f(x)=3x+是R上的偶函数,则实数a的值为　　　　;若f(x)+>b对任意x∈(1,+∞)恒成立,则b的取值范围为　　　　.  类型二　绝对值型函数 1.函数y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象与性质 (1)函数y=|f(x)|的定义域就是函数f(x)的定义域. 若函数f(x)的定义域为D,则由|x|∈D,即可得函数y=f(|x|)的定义域. (2)利用“图象法”或“对称法”,可求出函数y=|f(x)|,y=f(|x|)的值域. (3)奇偶性:若函数f(x)为偶函数或奇函数,则函数y=|f(x)|,y=f(|x|)都为偶函数. (4)对称性:把函数f(x)在x轴下方的图象关于x轴对称,即可得函数y=|f(x)|的图象; 取函数f(x)的x>0时的图象,再把所得的图象关于y轴对称,即可得函数y=f(|x|)的图象. (5)单调性:观察函数f(x)的图象特征,再利用对称性,得到函数y=|f(x)|,y=f(|x|)的图象,即可判断其单调性. 2.题型攻略·深度挖掘 [技能方法] 解决此类问题常用两种方法:一是分类讨论法,去掉绝对值函数中的绝对值符号,即利用分段函数给予表示,从而把绝对值型函数问题转化为分段函数问题进行解决;二是图象法,即认真审清所给的函数的特征,作出绝对值型函数的图象,利用图象的特征,解决相关问题. [易错指导] 破解绝对值型函数问题,在转化为分段函数(去掉绝对值符号)时,需注意:所分成各段的区间的端点值不要漏掉,否则会产生错解;满足绝对值符号的式子为负值的部分,去掉绝对值符号后要在这个式子前面加上负号,特别是涉及多个绝对值符号时,在解题中要认真地运算. 3.举一反三·触类旁通 例2 (1)[2019·全国卷Ⅰ] 关于函数f(x)=sin|x|+|sin x|有下述四个结论: ①f(x)是偶函数; ②f(x)在区间单调递增; ③f(x)在[-π,π]有4个零点; ④f(x)的最大值为2. 其中所有正确结论的编号是 (　　) A.①②④ B.②④ C.①④ D.①③ (2)[2021·河南商丘、周口、驻马店联考] 已知f(x)是定义在R上的奇函数,且f(1+x)=f(1-x),当0≤x≤1时,f(x)=x,关于函数g(x)=|f(x)|+f(|x|)有下面四个命题: ①g(x)为偶函数; ②g(x)在(1,2)上单调递增; ③g(x)在[2016,2020]上有三个零点; ④g(x)的最大值为2. 其中所有真命题的序号为 (　　) A