预习课04 空间向量及其运算的坐标表示（讲+练）-【暑假教程】2023年高一升高二数学暑假复习+预习（人教A版2019选择性必修第一册）

预习课04 空间向量及其运算的坐标表示 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 【例1】在空间直角坐标系中标出下列各点 【例2】求点关于平面，平面，平面的对称点. 2 空间向量的直角坐标运算律 ① 若， 则 , , ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. ⑤ 两点间的距离公式:若 则 或 【例1】若，证明. 【例2】 已知，且，则向量与的夹角为 . 【题型一】 空间坐标系 【典题1】 在长方体中，，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系， (1)写出四点的坐标；(2)写出向量的坐标. 【巩固练习】 1(多选)如图，在长方体中，，以直线分别为轴、轴、轴，建立空间直角坐标系，则　　 A．点的坐标为 B．点关于点对称的点为 C．点关于直线对称的点为 D．点关于平面对称的点为 2在空间直角坐标系中， (1)哪个坐标平面与轴垂直？哪个坐标平面与轴垂直？哪个坐标平面与轴垂直？ (2)写出点在三个坐标平面内的射影的坐标； (3)写出点关于原点成中心对称的点的坐标. 【题型二】 空间向量坐标运算 【典题1】 已知向量，则　　 【典题2】已知向量，若，则　　． 【典题3】已知向量，若，则的值为(　　) A． B． C． D． 【典题4】若，与的夹角为，则的值为　 　． 变式练习 1.若向量，则(　　) A． B． C． D． 2.已知空间向量，且，则实数 (　　) A． B． C． D． 3.已知向量，且与互相垂直，则k的值为(　　) A．2 B．0 C．－2 D．1 4.的三个顶点分别是，，，则边上的高长为(　　) A．5 B． C．4 D． 5.已知，则　 　． 6.已知点、，，则中角的大小是　 ． 7.已知向量，计算： （1）； （2）； （3）在上的投影． 【A组---基础题】 1.如图三棱柱中，侧面是边长为菱形，，交于点，侧面，且为等腰直角三角形，如图建立空间直角坐标系，则点的坐标为(　　) A． B． C． D． 2.已知向量，且与互相垂直，则的值是(　　) A．1 B． C． D． 3.已知，若，则(　　) A． B． C． D． 4.空间中，与向量同向共线的单位向量为（ ） A． B．或 C． D．或 5.如图，以长方体的顶点为坐标原点，过的三条棱所在的直线为坐标轴，建立空间直角坐标系，若的坐标为，则的坐标为　　 ． 6.已知空间直角坐标系中，点，若，，则　　． 7.已知，若三向量共面，则实数等于 　　． 8.已知：，，，，，求： （1）； （2）与所成角的余弦值． 【B组---提高题】 1.如图，已知点在正方体的对角线上，∠．设，则的值为(　　) A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 预习课04 空间向量及其运算的坐标表示 1 空间直角坐标系 (1) 空间直角坐标系 在空间选定一点和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向、以它们的长为单位长度建立三条数轴：轴、轴、轴，它们都叫做坐标轴，这时我们就建立了一个空间直角坐标系，叫做原点，都叫做坐标向量，通过每两条坐标轴的平面叫做坐标平面，分别称为平面，平面，平面，它们把空间分成八个部分. 在空间直角坐标系中，让右手拇指指向轴的正方向，食指指向轴的正方向，如果中指指向轴的正方向，则称这个坐标系为右手直角坐标系. (2) 空间直角坐标系中的坐标 在空间直角坐标系中，对空间任一点存在唯一的有序实数组 ，使有序实数组叫作向量在空间直角坐标系中的坐标，记作叫横坐标叫纵坐标叫竖坐标. 【例1】在空间直角坐标系中标出下列各点 解 略 【例2】求点关于平面，平面，平面的对称点. 解 ，，. 2 空间向量的直角坐标运算律 ① 若， 则 , , ， ② 若 ，则. ③ 模长公式 若，则， ④ 夹角公式 ，，为钝角. ⑤ 两点间的距离公式:若 则 或 【例1】若，证明. 证明 设为