1.1.2空间向量的数量积运算课件-2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第一册

NEW 2023 / 07 第 1 章空间向量与立体几何 人教a版2019选修第一册 1.1.2 空间向量的数量积运算 1.掌握空间向量的数量积，空间向量的夹角 2.掌握空间向量数量积的性质及运算律 3.能利用空间向量的数量积判断两个向量的 垂直及平行 学习目标 Topic. 01 01复习回顾 复习回顾：平面向量的数量积 平面向量数量积的相关知识 平面向量的夹角： 已知两个非零向量 和， 在平面上取一点， 作 =, = ，则 叫做向量与 的夹角。 A O B B ，则 的取值范围为 当 时，两向量互相垂直,记作: 注意：在两向量的夹角定义中，两向量必须是同起点的 平面向量的数量积的定义： 已知两个非零向量, b，则|| |b| 叫做向量, b的数量积，记作 并规定 0 复习回顾：平面向量的数量积 Topic. 02 02空间向量的夹角 空间向量的夹角 由于空间任意两个向量共面,所以空间向量可以先平移到同一平面,故空间向量有关定义与平面向量类似. 请阅读课本.思考以下问题? 空间向量的数量积： 空间向量的夹角 　(1)空间向量的夹角的定义：如图，已知两个非零向量，，在空间任取一点O，作＝，＝，则 叫做向量，的夹角，记作 ． (2)范围：〈，〉∈ . 特别地，当〈，〉＝ 时，两向量，同向共线； 当〈，〉＝π时，两向量， ，所以若∥，则〈，〉＝0或π；当〈，〉＝时，两向量，互相 ，记作 . ∠AOB 〈，b〉 [0，π] 0 反向共线 垂直 ⊥ Topic. 03 03空间向量的数量积 空间向量的数量积 (2)运算律： ①(λ)·＝ ； ②交换律：·＝ ； ③分配律：·(＋)＝ . （3）性质： ①⊥⇔·b＝0;　 ②·＝||||cos〈，〉＝||2＝2; ③ 零向量与任意向量的数量积为0，即0·＝0; ④ |·|≤||·||. λ(·) · ·＋· ||||cos〈，〉 · (1)平面中的两个非零向量，，定义||||cos θ为，的数量积·.即 = 注意：1.两个向量的数量积是数量， 而不是向量 2.数量积运算不满足结合律 空间向量的数量积 1.下列命题中，假命题是(　　) A.同平面向量一样，任意两个空间向量都不能比较大小 B.两个相等的向量，若起点相同，则终点也相同 C.只有零向量的模等于0 D.共线的单位向量都相等 解析　容易判断D是假命题，共线的单位向量是相等向量或相反向量. D 解析　向量a，b互为相反向量，则a，b模相等、方向相反.故D正确. 2.向量a，b互为相反向量，已知|b|＝3，则下列结论正确的是(　　) A. a＝b B. a＋b为实数0 C. a与b方向相同 D. |a|＝3 空间向量的数量积 D 6.已知a、b是异面直线，且a⊥b，e1、e2分别为取自直线a、b上的单位向量，且a＝2e1＋3e2，b＝ke1－4e2，a⊥b，则实数k的值为___. 解析　由a⊥b，得a·b＝0， ∴(2e1＋3e2)·(ke1－4e2)＝0， ∴2k－12＝0，∴k＝6. 空间向量的数量积 6 Topic. 04 04投影向量 投影向量 内， ，。 Topic. 05 05 空间向量的数量积运算 空间向量的数量积运算 例1.如图，已知空间四边形ABCD的每条边和对角线长都等于1，点E，F分别是AB，AD的中点，计算： (1)·；(2)；(3) ·. 【解析】　(1)·＝·＝||||cos〈，〉＝×1×1×cos 60°＝， 所以＝. (2)＝＝×1×1×cos 0°＝，所以＝ . (3) ·＝ ·＝×1×1×cos 120°＝－，所以＝－. 【类题通法】在几何体中求空间向量的数量积，首先要充分利用向量所在的图形，将各向量分解成已知模和夹角的向量的组合形式；其次利用向量的运算律将数量积展开，转化为已知模和夹角的向量的数量积；最后利用数量积的定义求解即可．注意挖掘几何体中的垂直关系或者特殊角． 空间向量的数量积运算 例2.已知在平行六面体ABCD-A'B'C'D'中, AB=4, AD=3,AA'=5,∠BAD=90°,∠BAA'=∠DAA'=60°, 求对角线AC'的长。 D' C' B' D A B C A' 共面向量 例3.如图