2.4圆周角(第3课时)（课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课件（苏科版）

第2章 · 对称图形——圆 2.4　圆周角 第3课时　圆的内接四边形 1 1.知道圆的内接四边形和四边形的外接圆的概念； 2.理解圆内接四边形的性质； 3.会利用圆内接四边形的性质进行简单计算和证明. 学习目标 知识回顾 1. 过三角形的三个顶点能画一个圆吗？为什么？ C A B O 三角形的三个顶点确定一个圆，这个圆叫做三角形的外接圆，外接圆的圆心叫做三角形的外心，这个三角形叫做圆的内接三角形. 如图：⊙O是_______的外接圆， △ABC是⊙O的___________，点O是△ABC的_______. △ABC 内接三角形 外心 B C A 知识回顾 2. 过四边形的四个顶点能画一个圆吗？为什么？ 经过任意四点不一定可以作一个圆. D D 如果四边形四个顶点都在圆上，类比三角形，你能说出圆和四边形的关系吗？ 类比归纳 B C A D 　　一个四边形的4个顶点都在同一个圆上，这个四边形叫做圆内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆． O 　　 如图，四边形ABCD是⊙O的_________________，⊙O是四边形ABCD的__________． 内接四边形 外接圆 ┐ 新知探索 A B D O ┐ C 1.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD是直径时，你能发现∠A与∠C、∠ABC与∠ADC有怎样的数量关系？ 解：∵ BD是直径， ∴∠A=90°，∠C=90°. ∴∠A+∠C=180° ∠ABC+∠ADC=180° 2.已知四边形ABCD是⊙O的内接四边形，当BD不是直径时，你上面发现的∠A与∠C、∠ABC与∠ADC的数量关系是否依然成立？为什么？ 新知探索 A B D O C E 解：作直径DE，连接AE，CE. ∵∠ABC=∠ABD+∠DBC ∠AEC=∠AED+∠DEC ∠AED=∠ABD , ∠DEC=∠DBC ∴∠ABC＝∠AEC ∵∠AEC＋∠ADC＝180° ∴∠ABC＋∠ADC＝180° 想想还有其他方法吗？ 新知探索 A B D O C 解： ∵∠ABC= 的度数 ∠ADC= 的度数 ∴ ∠ADC+∠ABC =(的度数的度数) =180° 请你归纳总结上面的发现，你能否将结论表述出来？ 新知归纳 A B D O C 圆内接四边形的性质定理： 圆内接四边形的对角互补. 符号语言表示： ∵四边形ABCD为⊙O的内接四边形， ∴∠A+∠C=180∘， ∠B+∠D=180∘. 新知应用 例1　如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，AB＝AD，∠C＝110°，若点E在上，求∠E的度数． B D A O E C 解：连接BD ∵四边形ABCD为圆的内接四边形， ∴∠C+∠BAD=180∘(圆内接四边形的对角互补). ∴∠BAD=180∘ −110∘ =70∘ ， 在△ABD中， ∵AB=AD，∠BAD=70∘ ∴∠ABD=∠ADB=(180∘ −70∘)=55 ∘ 又∵四边形ABDE为圆的内接四边形， ∴∠E+∠ABD=180 ∘ (圆内接四边形的对角互补). ∴∠E= 180∘ −∠ABD =180∘ −55∘ =125∘ 110° 新知巩固 C A B O E D 1. 如图，在⊙O的内接五边形ABCDE中,∠CAD=30°，∠AED=110°，则∠ABC的度数是______. 30° 110° 解：连接BD. ∵四边形ABDE是圆内接四边形， ∴∠AED+∠ABD=180°. ∵∠AED=110° ， ∴∠ABD=70°. ∵∠CAD=30° ， ∴∠CBD =∠CAD= 30°， ∴ ∠ABC =∠ ABD+∠CBD =100°. 100° 还有其他解法吗？ 新知巩固 B D A O E C 2.如图，四边形ABCD是⊙O的内接四边形，∠EAD是它的一个外角，若∠DCB=80°，求∠DAE的度数. 解：∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB=180°. 又∵∠DAB+∠DAE=180°， ∴∠DCB=∠DAE. ∵ ∠DCB=80°， ∴ ∠DAE=80° 延伸：圆内接四边形的任意一个外角等于它的内对角. 新知巩固 B D A O E C 变式1 连接DB、AC，若 DB＝DC，∠DAE与∠DAC相等吗？为什么？ √ √ 解：相等. 理由如下： ∵四边形ABCD是⊙O的内接四边形， ∴∠DAB+∠DCB=180° 又∵∠DAB+∠DAE=180° ∴∠DCB= ∠DAE ∵DB＝DC ∴∠DCB= ∠DBC 又∵ ∠DAC= ∠DBC = ∠DCB ∴∠DAE=∠DAC 新知巩固 变式2 如图，AD为圆内接三角形ABC的外角∠EAC的平分线，它与圆交于点D，连接DB、DC.