(教参)第2章 7 二次根式-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

7　二次根式 课时1　二次根式及其性质 学习目标 1. 理解并灵活掌握二次根式和最简二次根式的概念 2. 探索二次根式的性质，利用二次根式的性质将二次根式化为最简二次根式 素养目标 通过二次根式及其性质的探究，提高数学探究能力、归纳表达能力和运算能力 一、二次根式 一般地，形如(a≥0)的式子叫做 二次根式　，a叫做被开方数． 1. 下列式子中，一定属于二次根式的是(　D　) A. B. C. D. 2. 二次根式中x的取值范围是(　B　) A. x≥6 B. x≤6 C. x＜6 D. x＞6 二、二次根式的简单计算 ＝　·　(a≥0，b≥0)， ＝　　(a≥0，b>0)． 下列等式中，正确的是(　B　) A. ±＝ B. ＝ C. ±＝± D. ＝± 三、最简二次根式 被开方数不含　分母　，也不含能开得尽方的　因数或因式　，这样的二次根式，叫做最简二次根式． 下列为最简二次根式的是(　A　) A. B. C. D. 解析：A. 是最简二次根式，符合题意； B. 被开方数含有分母，不是最简二次根式，不符合题意； C. 被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，不符合题意； D. ＝2，被开方数中含有能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意． 故选A. 　　　　二次根式的简单化简 阅读材料：小明在学习二次根式后，发现一些含根号的式子可以写成另一个式子的平方．如3＋2＝(1＋)2，善于思考的小明进行了以下探索，若设a＋b＝(m＋n)2＝m2＋2n2＋2mn(其中，a，b，m，n均为整数)，则有a＝m2＋2n2，b＝2mn，这样小明就找到一种把类似a＋b的式子化为平方式的方法．请你依照小明的方法探索并解决下列问题： 探究1：若a＋b＝(m＋n)2，当a，b，m，n均为整数时，用含m，n的式子分别表示a，b，得a＝　m2＋7n2　，b＝　2mn　. 解析：因为a＋b＝(m＋n)2， 所以a＋b＝m2＋2mn＋7n2(a，b，m，n均为整数)， 所以a＝m2＋7n2，b＝2mn. 探究2：若a＋6＝(m＋n)2，当a，m，n均为正整数时，求a的值． 解：因为a＋6＝(m＋n)2， 所以a＋6＝m2＋2mn＋3n2(a，b，m，n均为整数)， 所以a＝m2＋3n2,2mn＝6， 所以mn＝3. 因为m，n均为正整数， 所以m＝1，n＝3或m＝3，n＝1. ①当m＝1，n＝3时，a＝28； ②当m＝3，n＝1时，a＝12. 综上所述，a＝28或12. 探究3：化简：和. 解：因为(2－)2＝4－2×2×＋3＝7－4， (＋)2＝2＋2＋3＝5＋2， 所以＝＝2－， ＝＝＋. 1. 探究题： ＝ 3 ，＝ 0.5 ，＝ 6 ，＝　　，＝　　,02＝ 0 . 根据计算结果，回答： (1)一定等于a吗？你发现其中的规律了吗？请你用自己的语言描述出来． (2)利用你总结的规律，计算： ①若x＜2，则＝　2－x　； ②＝　π－3.14　. (3)若a，b，c为三角形的三边，化简＋＋. 解：(1)不一定等于a.当a≥0时，＝a；当a<0时，＝－a. (3)因为a，b，c为三角形的三边， 所以a＋b>c，a＋c>b，b＋c>a， 所以＋＋＝a＋b－c＋a＋c－b＋b＋c－a＝a＋b＋c. 2. 先来看一个有趣的现象：＝＝＝2.这里根号里的因数2经过适当的演变，竟“跑”到了根号的外面，我们不妨把这种现象称为“穿墙”，具有这一性质的数还有许多，如：＝3，＝4等等． (1)猜想：＝　5　，并验证你的猜想； (2)你能用含有正整数n(n≥2)的等式表示上述规律吗？ (3)验证你找到的规律； (4)请你另外再写出1个具有“穿墙”性质的数． 解：(1)因为＝＝＝5，故猜想正确． (2)＝n. (3)＝＝＝n. (4)＝6.(答案不唯一) 知识点1　二次根式 一般地，形如(a≥0)的式子叫做二次根式，a叫做被开方数． 【考点诠释】 (1)a可以是数，也可以是式． (2)根指数是2次(省略未写)． (3)被开方数是非负数(a≥0)，要使二次根式在实数范围内有意义，即需满足被开方数≥0，列不等式求解即可．若二次根式为分式的分母时，应同时考虑分母不为零． (4)判断二次根式的步骤 知识点2　二次根式的简单运算 ＝·(a≥0，b≥0)， ＝(a≥0，b>0)． 【考点诠释】 (1)积的算术平方根等于算术平方根的积．商的算术平方根等于算术平方根的商； (2)公式中字母a≥0，b≥0(或b＞0)这一条件是公式的一部分，不应忽略； (3)化简二次根式，就要把被开方数中的平方数(或平方式)从根号里开出来． 知识点3　最简二次根式的概念 被开方数不含分母，也不含能开得尽方的因数或因式，这样的二次根式，叫做最简二次根式