(教参)第2章 1 认识无理数-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

实　数 1　认识无理数　 学习目标 1. 通过拼图活动，让学生感受无理数关系到的实际背景和引入的必要性 2. 借助计算器探索无理数是无限不循环小数，并从中体会无限逼近思想 3. 会判断一个数是不是无理数 素养目标 通过对有理数的推理和判断，提高学生的估算能力和思维判断能力 一、无理数 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示．反过来，任何有限小数或无限循环小数也都是有理数． 　无限不循环小数　称为无理数． 下列各数中是无理数的是(　B　) A. 0 B. C. －3.141 5 D. 二、估算无理数的近似值 通常可以通过估算一个无理数的大致范围来解决相关实际问题和数学问题． 无理数像一首读不完的长诗，既不循环，也不可枯竭，无穷无尽，数学家称之为一种特殊的数．设面积为10π的圆的半径为x. (1)x是有理数吗？并说明理由． (2)x的整数部分是多少？ (3)将x精确到十分位是多少？ 解：(1)x不是有理数．理由如下： 有理数总可以用有限小数或无限循环小数表示，而x是无限不循环小数，所以x不是有理数． (2)因为x2＝10，所以9＜x2＜16. 即3＜x＜4，故x的整数部分是3. (3)因为3.12＝9.61<10,3.22＝10.24>10， 又因为3.162＝9.985 6<10， 3.172＝10.048 9>10，所以3.16<x<3.17， 所以x精确到十分位是3.2. 　　将循环小数转化为分数 数学课上，好学的小明向老师提出了一个问题：无限循环小数是无理数吗？ 以0.为例，老师给小明做了以下解答(注：0.即0.333 33…)： 设0.为x，即0.3＝x， 等式两边同时乘10，得3.＝10x， 即3＋0.＝10x. 因为0.＝x，所以3＋x＝10x， 解得x＝，即0.＝. 因为分数是有理数，所以0.是有理数，同学们，你们学会了吗？ 请根据上述内容，解决下列问题： 探究1：请把无限循环小数0.写成分数的形式． 解：设0.为x，即0.2＝x， 等式两边同时乘10，得2.＝10x， 即2＋0.＝10x. 因为0.＝x，所以2＋x＝10x， 解得x＝，即0.＝. 探究2：请用解方程的办法将0.写成分数． 解：设0.为x，即0.21＝x， 等式两边同时乘100，得21.＝100x， 即21＋0.＝100x， 因为0.＝x，所以21＋x＝100x， 解得x＝，即0.＝. 无限循环小数如何化为分数呢？请你仔细阅读下列资料：由于小数部分位数是无限的，所以不可能写成十分之几、百分之几、千分之几等等的数．转化时需要先去掉无限循环小数的“无限小数部分”．一般是用扩倍的方法，把无限循环小数扩大十倍、一百倍或一千倍……使扩大后的无限循环小数与原无限循环小数的“无限小数部分”完全相同，然后这两个数相减，这样“大尾巴”就剪掉了．例如把0.和0.2化为分数． 请用以上方法解决下列问题： (1)把0.化为分数； (2)把0.3化为分数． 解：(1)因为0.×100＝17.， 所以0.×100－0.＝17.－0.. 0.×(100－1)＝17， 0.＝. (2)因为0.3×10＝3.，① 0.3×1 000＝313.，② 所以由②－①，得0.3×1 000－0.3×10＝313.－3.， 0.3×(1 000－10)＝310， 0.3＝. 　　图形中的无理数 在如图所示的正方形网格里，以格点为顶点按要求画图，并回答问题． 探究1：画一个面积是9的正方形，它的边长是有理数还是无理数？为什么？ 解：如图，画一个边长为3的正方形，则它的面积即为9，它的边长是有理数． 探究2：你能否画出一个面积为8的正方形？若能，画出来，并判断它的边长是有理数还是无理数；若不能，说明理由． 解：如图，即为面积为8的正方形，它的边长是无理数． 1. 如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，则网格上的△ABC的边长为无理数的有(　C　) A. 0条边 B. 1条边 C. 2条边 D. 3条边 解析：根据勾股定理，得 AC2＝25，AC＝5， AB2＝26，BC2＝13， 所以边长为无理数的有2条边． 2. 如图，每个长方形都是由18个边长为1的小正方形拼成的． 图1　　　 图2　　　　图3 (1)把图1,2,3中各阴影部分分别剪拼成大正方形，这些大正方形的面积一样吗？ (2)这些大正方形的边长是有理数吗？请说明理由． 解：(1)如题图1，阴影部分面积为5，则拼成的大正方形面积为5； 如题图2，阴影部分面积为×(2＋4)×2＝6，则拼成的大正方形面积为6； 如题图3，阴影部分面积为×6×2＋1＝7，则拼成的大正方形面积为7. 故这些大正方形面积不相等． (2)这些大正方形的边长不是有理数． 理由：设题图1，题图2，题图3中各阴影部分剪拼成的大正方