(教参)第1章 阶段任务性复习 勾股定理在折叠问题中的应用类型-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

勾股定理在折叠问题中的应用类型 问题：完成下列1～3题，想一想勾股定理在折叠问题中的应用有哪几种类型？ 1. 如图，有一块直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CE的长为(　A　) A. 1 cm B. 1.5 cm C. 2 cm D. 3 cm 解析：在Rt△ABC中，由勾股定理，得AB＝5 cm， 根据折叠的性质可知AE＝AB＝5 cm. 因为AC＝4 cm， 所以CE＝AE－AC＝1 cm. 即CE的长为1 cm. 故选A. 2. 如图，将长方形纸片ABCD沿直线EF折叠，使点C落在边AD的中点C′处，点B落在点B′处，其中AB＝9，BC＝6，则FC′的长为(　D　) A. B. 4 C. 4.5 D. 5 解析：设FC′＝x，则CF＝x，FD＝9－x. 因为BC＝6，四边形ABCD为长方形，点C′为AD的中点， 所以AD＝BC＝6，C′D＝3. 在Rt△FC′D中，∠D＝90°，FC′＝x，FD＝9－x，C′D＝3， 所以FC′2＝FD2＋C′D2，即x2＝(9－x)2＋32， 解得x＝5. 所以FC′的长为5. 3. 如图，将长方形ABCD边AD沿折痕AE折叠，使点D落在边BC上的点F处，已知AB＝6，△ABF的面积是24，则FC＝　2　. 解析：因为四边形ABCD是长方形， 所以∠B＝90°，BC＝AD. 因为AB＝6，△ABF的面积是24， 所以BF＝8， 由勾股定理，得AF＝10. 由折叠的性质可得AD＝AF＝10， 所以BC＝10， 所以FC＝BC－BF＝10－8＝2. 类型1　三角形折叠求线段的长度 利用勾股定理解决三角形折叠求线段长度问题时，首先根据折叠的性质在图中标出已知的线段、直角；再寻找可以利用的直角三角形，根据勾股定理找出已知线段与未知线段之间的等量关系，列出方程，求出未知线段的长度． 【例1】如图，有一张直角三角形纸片，两直角边AC＝5 cm，BC＝10 cm，将△ABC折叠，使点B与点A重合，折痕为EF，则CE的长为(　A　) A. cm B. cm C. cm D. cm 解析：设CE的长为x cm， 由题意，得AE＝BE＝(10－x)cm. 因为△ACE为直角三角形，∠C＝90°， 所以AE2＝CE2＋AC2， 即(10－x)2＝x2＋52， 解得x＝. 故选A. 【练习】 如图，有一张直角三角形纸片，∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm，将斜边AB翻折，使点B落在直角边AC的延长线上的点E处，折痕为AD，则CD的长为　 cm　. 解析：因为∠C＝90°，AC＝4 cm，BC＝3 cm， 所以AB＝5 cm. 根据题意，得AE＝AB＝5 cm，ED＝BD， 所以CE＝1 cm. 设CD＝x cm，则ED＝(3－x)cm. 根据勾股定理，得x2＋12＝(3－x)2， 解得x＝.即CD的长为 cm. 类型2　三角形折叠求面积 利用勾股定理解决三角形折叠求面积问题时，首先根据折叠性质判断该三角形是否为直角三角形，若是直角三角形则根据勾股定理求出所需的边长或高，进而求出三角形的面积．若不是直角三角形，则找出共边的直角三角形，并利用割补法求解． 【例2】如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm，按图中所示方法将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB的点C′处，那么△ADC′的面积是　6 cm2　. 解析：因为∠C＝90°，BC＝6 cm，AC＝8 cm， 所以AB＝10 cm. 因为将△BCD沿BD折叠，使点C落在边AB的点C′处， 所以△BCD≌△BC′D， 所以∠C＝∠BC′D＝90°，DC＝DC′，BC＝BC′＝6 cm， 所以AC′＝AB－BC′＝10－6＝4(cm)． 设DC＝x cm，则AD＝(8－x)cm， 在Rt△ADC′中，AD2＝AC′2＋C′D2， 即(8－x)2＝42＋x2，解得x＝3. 因为∠AC′D＝90°， 所以△ADC′的面积是×AC′×C′D＝×4×3＝6(cm2)． 类型3　长方形折叠求线段的长 利用勾股定理解决长方形折叠求线段长度问题时，首先根据折叠的性质寻找该线段所在的直角三角形，并根据勾股定理确定等量关系，列出方程，求解即可． 【例3】如图，在长方形纸片ABCD中，已知AD＝8，折叠纸片，使边AB与对角线AC重合，点B落在点F处，折痕为AE，且EF＝3，则AB的长为(　D　) A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 解析：因为四边形ABCD是长方形，AD＝8， 所以BC＝8. 因为△AEF是△AEB翻折而成， 所以BE＝EF＝3，AB＝AF，△CEF是直角三角形， 所以CE＝8－3＝5