(教参)第1章 3 勾股定理的应用-【提分教练】2022-2023学年八年级数学上册同步(北师大版)

3　勾股定理的应用 学习目标 1. 能熟练运用勾股定理求最短距离 2. 能运用勾股定理及其逆定理解决生活中的长度问题 素养目标 在建模的过程中，强化转化思想，培养学生解决问题的意识和应用能力 一、确定几何体上的最短路线 (1)在平面上寻找两点之间的最短路线是根据线段的性质：两点之间　线段最短　. (2)在立体图形上，由于受物体与空间的阻隔，两点间的最短路线不一定是两点间的线段长，应将其展开成　平面　图形，利用平面图形中线段的性质确定最短路线． 如图，若圆柱的底面周长是50 cm，高是120 cm，从圆柱底部A处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部B处，则这条丝线的最小长度是(　C　) A. 170 cm B. 145 cm C. 130 cm D. 70 cm 解析：如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接AB， 根据勾股定理，得AB2＝502＋1202＝16 900＝1302， 所以AB＝130 cm. 故选C. 二、利用勾股定理解决生活中的长度问题 将实际问题转化为数学问题，应用　勾股定理　或　直角三角形的判定方法　解题． 如图，一名游泳爱好者要横跨一条宽AC＝8 m的河流，由于水流速度的原因，这名游泳爱好者向下游偏离了BC＝6 m，这名游泳爱好者在横跨河流时的实际游泳距离为(　B　) A. 8 m B. 10 m C. 12 m D. 14 m 　　用勾股定理计算最短路线长 如图1，一圆柱的底面半径为5厘米，BC是底面直径，高AB为5厘米，求一只蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的最短路线． 探究1：小明设计了两条路线． 路线1：如图2中的侧面展开图中的线段AC，路线2：如图1中的高线AB＋底面直径BC，请你计算哪种方案蚂蚁爬行的距离较短． 图1　　　　　　　图2 解：路线1：侧面展开图中的线段AC，如题图2所示，设路线1的长度为l1，则l＝AC2＝AB2＋BC2＝52＋(5π)2＝25＋25π2. 路线2：高线AB＋底面直径BC，如题图1所示． 设路线2的长度为l2，则l2＝AB＋BC＝5＋10＝15，l＝225. 因为l－l＝25＋25π2－225＝25π2－200＝25(π2－8)＞0， 所以l＞l，所以l1＞l2， 所以路线2蚂蚁爬行的距离较短． 探究2：小亮对上述结论有些疑惑，于是他把条件改成：“圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米．”继续按前面的路线进行计算．请你帮小亮完成下面的计算： 路线1：l＝AC2＝　25＋π2　； 路线2：l2＝AB＋BC＝　7　，l＝　49　. 因为l　＜　l，所以l1　＜　l2，(填“＞”或“＜”) 所以小亮认为选择路线　1　(填“1”或“2”)较短． 解析：如题图2， 因为圆柱的底面半径为1厘米，高AB为5厘米， 所以路线1：l＝AC2＝AB2＋BC2＝25＋π2； 如题图1， 路线2：l2＝AB＋BC＝5＋2＝7， l＝(AB＋BC)2＝49. 因为l－l＝25＋π2－49＝π2－24＜0， 所以l＜l，所以l1＜l2， 所以选择路线1较短． 探究3：请你帮小明和小亮继续研究：在一般情况下，当圆柱的底面半径为r厘米时，高为h厘米，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C， 路线1：l＝　h2＋π2r2　； 路线2：l＝　(h＋2r)2　. 当满足什么条件时，选择的路线2较短？请说明理由． 解：因为l＝h2＋π2r2， l＝(h＋2r)2， 所以l－l＝h2＋(πr)2－(h＋2r)2＝r(π2r－4r－4h)＝r[(π2－4)r－4h]． 因为r恒大于0， 所以当(π2－4)r－4h＞0， 即>时，l＞l， 即此时选择的路线2较短． 探究4：如图3为2个相同的圆柱紧密排列在一起，高为5厘米，当圆柱的底面半径r(厘米)为多少时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的两条线段相等(注：按上面小明所设计的两条路线方式)． 图3 解：如题图3，圆柱的高为5厘米． l＝AC2＝AB2＋BC2＝25＋(2πr)2， l＝(AB＋BC)2＝(5＋4r)2， 由题意，得25＋(2πr)2＝(5＋4r)2， 解得r＝. 即当圆柱的底面半径r为厘米时，蚂蚁从点A出发沿圆柱表面爬行到点C的两条线段相等． 如图，圆柱的高为4 cm，底面周长为6 cm，在圆柱下底面的点A处有一只蚂蚁，它想吃到上底面B处的食物，已知长方形ADBC的边AD，BC恰好是上、下底面的直径，则蚂蚁要吃到食物，至少要爬行(　B　) A. 4 cm B. 5 cm C. 7 cm D. 10 cm 解析：如图，将圆柱体沿着直线AC剪开，得到长方形， 则AB的长度为所求的最短距离，根据题意，圆柱的高为4 cm，底面周长为6 cm， 所以AC＝4 cm，BC＝3 cm， 根据勾股定理，得AB＝5 cm， 所以蚂蚁