2.1 等式与不等式的关系-2023-2024学年高一数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019必修第一册）

2.1 等式关系与不等式关系 1.能用不等式(组)表示实际问题中的不等关系. 2.初步学会作差法比较两实数的大小. 3.掌握不等式的有关性质． 4.能利用不等式的性质进行数或式的大小比较或不等式证明或解决范围问题． 重点：掌握不等式性质及其应用． 难点：不等式性质的应用． 阅读课本内容，自主完成下列内容。 知识点一 基本事实： 两个实数a，b，其大小关系有三种可能，即a>b，a＝b，a<b. 依据 a>b⇔ ；a＝b⇔ ；a<b⇔ . 结论 要比较两个实数的大小，可以转化为比较它们的 与 的大小. 符号“⇔”叫做等价号，读作“等价于”，“p⇔q”的含义是：p可以推出q，q也可以推出p，即p与q可以互推． 思考：x2＋1与2x两式都随x的变化而变化，其大小关系并不显而易见.你能想个办法，比较x2＋1与2x的大小吗？ 知识点二 重要不等式 ∀a，b∈R，有a2＋b2 2ab，当且仅当a＝b时，等号成立. 1.（多选）下列判断正确的是（ ） A实数a不大于－2，用不等式表示为a≥－2. B不等式x≥2的含义是指x不小于2. C若a<b或a＝b之中有一个正确，则a≤b正确． D 2.某购买甲产品x件，乙产品y件，甲、乙两种产品总量至少需要120个，则x，y应满足的不等关系是(　　) A．x＋y>120　　　 B．x＋y<120 C．x＋y≥120 D．x＋y≤120 知识点三 等式的基本性质 性质1　如果a＝b，那么b＝a； 性质2　如果a＝b，b＝c，那么a＝c； 性质3　如果a＝b，那么a±c＝b±c； 性质4　如果a＝b，那么ac＝bc； 性质5　如果a＝b，c≠0，那么＝. 知识点四 不等式的性质 性质 别名 性质内容 注意 1 对称性 a>b⇔b      a ⇔ 2 传递性 a>b，b>c⇒a>c 不可逆 3 可加性 a>b⇔a＋c      b＋c 可逆 4 可乘性 a>b，c>0⇒ _______ a>b，c<0⇒ _______ c的符号 5 同向可加性 a>b，c>d⇒ ___________ 同向 6 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ ________ 同向 7 可乘方性 a>b>0⇒an     bn(n∈N，n≥2) 同正 思考1：若a>b，c>d，那么a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？ 思考2：若a>b，c>d，那么ac>bd成立吗？ 思辨解析(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)a＝b是＝成立的充要条件．(　　) (2) a>b ⇒ ac2>bc2．(　　) (3)若a＋c>b＋d，则a>b，c>d.(　　) (4)同向不等式相加与相乘的条件是一致的．(　　) (5)设a，b∈R，且a>b，则a3>b3.( ) 考点一 用不等式(组)表示不等关系 例1 （2023高一专题练习）某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm两种，按照生产的要求，600 mm钢管的数量不能超过500 mm钢管的3倍．试写出满足上述所有不等关系的不等式． 【对点演练1】如图所示的两种广告牌，其中图1是由两个等腰直角三角形构成的，图2是一个矩形，则这两个广告牌面积的大小关系可用含字母a，b(a≠b)的不等式表示为________． 【对点演练2】某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本．根据市场调查，若单价每提高0.1元，销售量就可能相应减少2 000本，若把提价后杂志的定价设为x元，怎样用不等式表示销售的总收入仍不低于20万元？ 考点二 比较大小 角度1 做差比较大小 例2 比较x2＋y2＋1与2(x＋y－1)的大小 【对点演练1】已知x，y均为正数，设m＝＋，n＝，比较m和n的大小． 【对点演练2】（2022山东滨州联考）设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是(　 ) A．M>N　　　B．M＝N C．M<N D．与x有关 【对点演练3】（2023·全国·高三专题练习）已知，，，，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D．，大小关系不确定 角度2 作商比较大小 例3（2023·全国·高三专题练习）设，比较与的大小 【对点演练1】已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y之间的大小关系是（       ） A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 角度3 利用不等式的性质比较大小 例4（2023高一课时作业）若，，则一定有（    ） A． B． C． D． 【