2.2 基本不等式-2023-2024学年高一数学上学期《导学•解读•突破》导学案（人教A版2019必修第一册）

2.2 基本不等式 1.理解基本不等式的内容及证明； 2.能熟练运用基本不等式来比较两个实数的大小； 3.能初步运用基本不等式证明简单的不等式 重点：从不同角度探索不等式的证明过程，会用此不等式求某些简单函数的最值； 难点：基本不等式等号成立条件； 阅读课本内容，自主完成下列内容。 .思考：你能否在这个图案中找出一些相等关系或不等关系？ 1、大正方形ABCD的 　　面积S=＿＿＿＿＿ 2、四个直角三角形的 　　面积和S’ =＿ ＿ 3、S与S’有什么样的不等关系？　　　 知识点一 重要不等式 对于任意实数a、b，都有a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立． 你能给出不等式a2＋b2≥2ab的证明吗？ 知识点二 基本不等式 对于任意实数，都有≤，当且仅当a＝b时，等号成立． 其中和分别叫做正数a，b的算术平均数和几何平均数． 你能给出不等式（）的证明吗？ 知识点二 基本不等式≥(a>0，b>0) (1)不等式成立的条件：a，b都是正数． (2)“当且仅当”的含义： ①当a＝b时，≥的等号成立， 即a＝b⇒＝； ②仅当a＝b时，≥的等号成立， 即＝⇒a＝b. 思考1：不等式a2＋b2≥2ab与≤成立的条件相同吗？如果不同各是什么？ 思考2： a＋≥2(a≠0)是否恒成立？ 知识点三 利用基本不等式求最值问题 已知x>0，y>0，则 如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最____值是________ (简记：积定和最小)． 如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最____值是__________ (简记：和定积最大)． 1.判断正误．(正确的打“√”，错误的打“×”) (1)对任意的a，b∈R，若a与b的和为定值，则ab有最大值．(　　) (2)若xy＝4，则x＋y的最小值为4.(　　) (3)函数f(x)＝x2＋的最小值为2－1.(　　) 2.利用基本不等式求最值 【解析】 考点一 利用基本不等式判断（证明）不等关系 例1下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【对点演练1】已知，下列不等式一定成立的是（ ） A． B． C． D． 【对点演练2】若，则下列不等式成立的是（ ） A． B． C． D． 考点二 利用基本不等式求积的最大值 例2．若，且，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【对点演练1】已知，则有（ ） A．最大值为1 B．最小值为 C．最大值为4 D．最小值为4 【对点演练2】已知实数若，求的最大值（ ） A．1 B． C．4 D． 考点三 利用基本不等式求和的最小值 角度1 配凑法 例3 已知x>2，则函数y＝x＋的最小值是(　　) A．2 B．2＋2 C．2 D.＋2 【对点演练1】若，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【对点演练2】已知函数y＝x－4＋(x>－1)，当x＝a时，y取得最小值b，则a＋b等于(　　) A．－3 B．2 C．3 D．8 【对点演练3】若，则函数的最小值为（    ） A．4 B．5 C．7 D．9 角度2 常数代换法 例4．已知，，且，则的最小值为（ ） A．5 B．6 C．7 D．8 【对点演练1】已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是(　　) A． B．4 C． D．5 【对点演练2】已知，，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【对点演练3】已知实数x，y满足，且，则的最小值为（ ） A． B． C．1 D． 【对点演练4】已知正实数满足，则的最小值为___________. 角度 3消元法 例5 (2023·烟台模拟)已知x>0，y>0，x＋3y＋xy＝9，则x＋3y的最小值为________． 【变式演练1】本例条件不变，求xy的最大值． 方法总结：　(1)前提：“一正”“二定”“三相等”． (2)要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本不等式． (3)条件最值的求解通常有三种方法：一是配凑法；二是将条件灵活变形，利用常数“1”代换的方法；三是消元法． 角度4二次商式的最值问题 例6已知，则 的最大值是（ ） A． B． C．2 D．7 【变式演练1】若，则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值2 D．最小值2 【变式演练2】已知，则有（ ） A．最大值 B．最小值 C．最大值3 D．最小值3 【变式演练3】当x>3时，求函数y＝的值域为__________． 考点四 基本不等式的恒成立求参