1.3 正方形的性质与判定（第三课时 中点四边形）（同步课件）-2023-2024学年九年级数学上册同步精品课堂（北师大版）

1.3 正方形的性质与判定 第一章 特殊平行四边形 第三课时 中点四边形 北师大版 九年级上册 5种判定方法 三个角是直角 四条边相等 一个角是直角 对角线相等 一组邻边相等 对角线垂直 一组邻边相等 对角线垂直 一个角是直角 对角线相等 一个角是直角且一组邻边相等 课前导入 中点四边形的定义：依次连接任意一个四边形各边中点所得的四边形叫做中点四边形。 【猜想】中点四边形有哪些性质？并尝试证明？ 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点，则 猜想1：四边形EFGH是平行四边形 猜想2：CEFGH =AC+BD 猜想3：sEFGH =sABCD 探索与思考 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点， 证明：四边形EFGH是平行四边形 证明： ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH∥BD，EH=BD ∵FG是△BCD的中位线 ∴FG∥BD，FG=BD ∴EH∥FG EH=FG ∴四边形EFGH是平行四边形 探索与思考 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点， 证明：四边形EFGH是平行四边形 证明： ∵EF是△ABC的中位线 ∴EF∥AC，EF=AC ∵GH是△ACD的中位线 ∴GH∥AC，GH=AC ∴EF∥GH EF=GH ∴四边形EFGH是平行四边形 结论一：顺次连接任意四边形各边中点所组成的四边形是平行四边形。 探索与思考 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点， 证明：CEFGH =AC+BD 证明： ∵EH是△ABD的中位线 ∴EH=BD ∵FG是△BCD的中位线 ∴FG=BD ∴EH = FG =BD 则EH+FG= BD 同理EF = GH =AC 则EF+GH=AC ∴四边形EFGH的周长=EH+FG+EF+GH=BD+AC 结论二：中点四边形的周长等于原四边形对角线之和。 探索与思考 已知点E、F、G、H分别为四边形ABCD四条边AB、BC、CD、AD的中点， 证明：sEFGH =sABCD 证明： 过点A作AN⊥BD，垂足为点N，AN与EH交于点M s▱PHEQ=PQ•MN=AN•BD=•(AN•)= S△ABD 同理s▱PGFQ = S△BCD ∴sEFGH =sABCD 结论三：中点四边形的面积等于原四边形面积的一半。 课堂练习 【探究1】以菱形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？ 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是菱形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形EFGH为矩形. 证明：连接 AC，BD， ∵ E，F分别是 AB 和 BC 边中点， ∴ EF∥AC，同理可证 HG∥AC，EH∥BD，FG∥BD. ∴ EF∥HG，EH∥FG， ∴ 四边形EFGH为平行四边形 又∵AC⊥BD, EH∥BD ∴ AC⊥EH 而HG∥AC ∴ HG⊥EH 则∠EHG=90° ∴四边形 EFGH 是矩形（矩形的定义） 探索与思考 已知：如图，点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC⊥DB，垂足为点O. 求证：四边形EFGH为矩形. 证明： 根据已知条件可知四边形EFGH为平行四边形 ∵AC⊥DB ∠DOC=90° ∵E，F，G，H分别是AB，BC，CD，DA的中点， ∴HE∥BD∥GF，HG∥AC∥EF ∴∠EHG=∠HGF=∠GFE=∠FEH=90 ° ∴四边形EFGH是矩形。 结论四：顺次连接对角线互相垂直的四边形各边中点所组成的四边形是矩形。 探索与思考 【探究2】以矩形各边的中点为顶点组成的四边形会是什么形状？ 已知：如图，点E，F，G，H分别是矩形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形EFGH为菱形. 证明：连接AC、BD 由探究1可知，四边形 EFGH 为平行四边形. 又∵四边形ABCD是矩形 ∴AC=BD（矩形的对角线相等）， ∴EF=EH ∴四边形EFGH是菱形（菱形的定义） 探索与思考 已知：如图，点E、F、G、H是任意四边形ABCD的中点，AC=DB，垂足为点O. 求证：四边形EFGH为矩形. 证明： ∵EF是∆ABC的中位线 ∴EF= ∵HG是∆ADC的中位线 ∴HG= ∴EF= 同理EH= ∵AC=DB ∴EF=HG=EH=FG ∴四边形EFGH是菱形 结论五：顺次连接对角线相等的四边形各边中点所组成的四边形是菱形。 探索与思考 【思路】利用三角形的中位线及正方形的性质证出EH=GH=FG=EF，从而得到四边形EFGH是菱形，再根据EH ⊥GH得出EFGH是正方形。 已知：如图，点 E，F，G，H 分别是正方形 ABCD 各边的中点. 求证：四边形EFGH为正方形. 探索与思考 已知：点E、F、G、H是任意四边形ABCD的