预习课03 空间向量基本定理（讲+练）-【暑假教程】2023年高一升高二数学暑假复习+预习（人教A版2019选择性必修第一册）

预习课03 空间向量基本定理 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 证明 存在性：设不共面，过点作，，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线， 存在三个数，使得，，， ， ； 唯一性：设另有一组实数，使得， 则 ， 不共面，，即且且 故实数是唯一的. 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【例】设命题是三个非零向量；命题为空间的一组基底，则命题是命题的 条件. 3推论 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有序实数使 . 若，则点四点共面. 【题型一】空间向量基本定理的理解 【典题1】 若构成空间的一个基底，则下列向量能构成空间的一个基底的是( ) A． B． C． D． 变式练习 1.是空间向量的一个基底，设，给出下列向量组： ①，②，③，④，其中可以作为空间向量基底的向量组有( )组． A．1 B．2 C．3 D．4 2.已知为空间四点，且向量不能构成空间的一个基底，则一定有( ) A．共线 B．中至少有三点共线 C．与共线 D．四点共面 【题型二】 基底表示空间向量 【典题1】 如图所示，在平行六面体中，，是的中点，点是上的点，且，用表示向量的结果是(　　) A． B． C． D． 变式练习 1. 如围在四面体中，分别在棱上且满足，点是线段的中点，用向量表示向量应为(　　) A． B． C． D． 2.如图，在空间四边形中，分别是的重心，为的中点，试用基底表示向量和． 【题型三】空间向量基本定理的应用 【典题1】 在平行六面体中，，，．若 (1)用基底表示向量； (2)求向量的长度． 变式练习 1.如图, 已知正方体和相交于点, 连接, 求证 2.如图, 在棱长为的正方体中分别为的中点, 点在上, 且 求证:求与所成角的余弦值. 【A组---基础题】 1.有以下命题： ①如果向量与任何向量不能构成空间向量的一组基底，那么的关系是不共线； ②为空间四点，且向量不构成空间的一个基底，那么点一定共面； ③已知向量是空间的一个基底，则向量，也是空间的一个基底． 其中正确的命题是( ) A．①② B．①③ C．②③ D．①②③ 2.如图所示，在平行六面体中，为与的交点，若，则　　) A． B． C． D． 3.如图，在四面体中，是的中点，是的中点，则等于(　　) A． B． C． D． 4.如图，在四面体中，点在线段上，且，为的中点． (1)若，用向量表示向量； (2)若四面体的棱长均为，求． 5.如图，三棱柱的所有棱长都相等，，点为的重心，的延长线交于点，连接．设． (1)用表示； (2)证明：． 6.在正四面体中，分别是的中点．设． (1)用表示； (2)求证：； (3)求证：四点共面． 【B组---提高题】 1.已知正三棱锥的侧棱长为，过其底面中心作动平面交线段于点，分别交 的延长线于点，求的值． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 预习课03 空间向量基本定理 1 空间向量基本定理 如果三个向量不共面，那么对空间任一向量存在一个唯一的有序实数组，使 . 证明 存在性：设不共面，过点作，，， 过点作直线平行于交平面于点在平面内， 过点作直线， 存在三个数，使得，，， ， ； 唯一性：设另有一组实数，使得， 则 ， 不共面，，即且且 故实数是唯一的. 2基底 若三向量不共面，我们把叫做空间的一个基底，叫做基向量，空间任意三个不共面的向量都可以构成空间的一个基底. 特别地，如果空间的一个基底中的三个基向量两两垂直，且长度都为，那么这个基底叫做单位正交基底，常用表示.由 基本定理可知，对空间中的任意向量，均可以分解为三个向量，，，使，像这样，把一个空间向量分解为三个两两垂直的向量，叫做把空间向量进行正交分解. 【例】设命题是三个非零向量；命题为空间的一组基底，则命题是命题的 条件. 解：是三个非零向量成立，当三个向量共面时，则不为空间的一组基， 即命题推不出命题； 但反之为空间的一组基，则不共面，所以是三个非零向量， 即命题推出命题； 所以命题是命题的充分不必要条件． 3推论 设是不共面的四点，则对空间任一点都存在唯一的三个有