专题11 函数的表示-【高中第一步】2023年暑假初升高数学完美衔接精品课（人教A版2019）

【高中第一步】2023年暑假初升高完美衔接精品课（人教A版2019） 专题11 函数的表示法 考点目录 考点一 三种表示法表示函数 考点二 求函数的解析式 考点三 分段函数的解析式 考点四 分段函数的图像 考点五 解分段函数的不等式 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法（如图象法，列表法，解析法）表示函数，理解函数图象的作用 2.通过具体实例，了解简单的分段函数，并能简单应用． 一、函数的三种表示方法 解析法：用数学表达式表示两个变量之间的对应关系． 优点：简明，给自变量求函数值. 图象法：用图象表示两个变量之间的对应关系． 优点：直观形象，反应变化趋势. 列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系． 优点：不需计算就可看出函数值. 二、分段函数 分段函数的解析式不能写成几个不同的方程，而应写函数几种不同的表达式并用个左大括号括起来，并分别注明各部分的自变量的取值情况． 三、求函数解析式的3种常用方法 1.待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再根据条件列方程(组)，通过解方程(组)求出待定系数，进而求出函数解析式 2.换元法(有时可用“配凑法”)：已知函数f[g(x)]的解析式求f(x)的解析式，可用换元法(或“配凑法”)，即令g(x)＝t，反解出x，然后代入f[g(x)]中求出f(t)，从而求出f(x) 3.解方程组法：已知关于f(x)与f或f(－x)的表达式，可根据已知条件再构造出另外一个等式组成方程组，通过解方程组求出f(x) 注：①分段函数虽然由几部分构成，但它仍是一个函数而不是几个函数． ②分段函数的“段”可以是等长的，也可以是不等长的．如y＝其“段”是不等长的． ③分段函数的图象要分段来画． ④分段函数求值，一定要注意所给自变量的值所在的范围，代入相应的解析式求解．对于含有多层“f”的问题，要按照“由内到外”的顺序，逐层处理． ⑤已知函数值，求自变量的值时，要先将“f”脱掉，转化为关于自变量的方程求解． 考点一：三种表示法表示函数 例1：（2023·上海·高一专题练习）已知正三角形边长为x，周长为C，面积为S，求： （1）周长C关于边长x的函数解析式； （2）面积S关于边长x的函数解析式． 【详解】（1）； （2）如图，为等边三角形，，作于点D， ，. 考点二：求函数的解析式 例2：（2023·全国·高一假期作业）（1）已知是一次函数，且满足，求的解析式． （2）若对任意实数x，均有，求的解析式． 【详解】（1）因为是一次函数，所以设，， 又因为， 所以，整理得， 故，解得， 所以. （2）因为①， 所以②， 由①②得：， 解得：. 考点三：分段函数的解析式 例3：（2023·高一课时练习）已知函数，则__________． 【详解】因为， 所以，故答案为：4． 考点四：分段函数的图像 例4：（2023·全国·高一假期作业）已知函数. (1)求，的值； (2)作出函数的简图； (3)由简图指出函数的值域； 【详解】（1）由， ∴， . （2）简图如图所示： （3）简图可知函数的值域为 考点五：解分段函数的不等式 例5：（2023·江苏·高一假期作业）已知函数，则不等式的解集是________． 【详解】当时，由－x，解得x， 当时，由2x－1，解得x，综上不等式的解为x或x. 所以.故答案为： 考点一：三种表示法表示函数 一、单选题 1．（2023·江苏·高一假期作业）已知函数由下表给出，则满足的x的值为（  ） x 1 2 3 2 3 1 A．1或3 B．1或2 C．2 D．3 2．（2023秋·广东深圳·高一统考期末）已知函数的对应关系如下表所示，函数的图像是如图所示的曲线，则的值为（    ） x 1 2 3 2 3 0 A．3 B．0 C．1 D．2 3．（2023·高一课时练习）已知函数f(x)，g(x)分别由下表给出： x 1 2 3 f(x) 2 1 1 x 1 2 3 g(x) 3 2 1 则（    ） A．0 B．1 C．2 D．3 4．（2023·高一课时练习）某人去上班，先快速走，后中速走．如果表示该人离单位的距离，表示出发后的时间，那么下列图象中符合此人走法的是（    ） A． B． C． D． 5．（2023·江苏·高一假期作业）图中的文物叫做“垂鳞纹圆壶”，是甘肃礼县出土的先秦时期的青铜器皿，其身流线自若、纹理分明，展现了古代中国精湛的制造技术.科研人员为了测量其容积，以恒定的流速向其内注水，恰好用时秒注满，设注水过程中，壶中水面高度为，注水时间为，则下面选项中最符合关于的函数图象的是（ ） A． B． C． D．