第07讲因式分解法及配方法求解一元二次方程-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第07讲因式分解法及配方法求解一元二次方程 【知识梳理】 一：因式分解法解一元二次方程 （1）用因式分解法解一元二次方程的步骤 ①将方程右边化为0； 　 　②将方程左边分解为两个一次式的积； 　　 ③令这两个一次式分别为0，得到两个一元一次方程； 　　 ④解这两个一元一次方程，它们的解就是原方程的解. （2）常用的因式分解法 　　　提取公因式法，公式法（平方差公式、完全平方公式），十字相乘法等. 要点诠释： （1）能用分解因式法来解一元二次方程的结构特点：方程的一边是0，另一边可以分解成两个一次因式的积； （2）用分解因式法解一元二次方程的理论依据：两个因式的积为0，那么这两个因式中至少有一个等于0； （3）用分解因式法解一元二次方程的注意点：①必须将方程的右边化为0；②方程两边不能同时除以含有未知数的代数式. 二、配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 要点诠释： （1）配方法解一元二次方程的口诀：一除二移三配四开方； （2）配方法关键的一步是“配方”，即在方程两边都加上一次项系数一半的平方. （3）配方法的理论依据是完全平方公式． 三、配方法的应用 1．用于比较大小： 在比较大小中的应用，通过作差法最后拆项或添项、配成完全平方，使此差大于零（或小于零）而比较出大小. 2．用于求待定字母的值： 配方法在求值中的应用，将原等式右边变为0，左边配成完全平方式后，再运用非负数的性质求出待定字母的取值． 3．用于求最值： “配方法”在求最大（小）值时的应用，将原式化成一个完全平方式后可求出最值． 4．用于证明： “配方法”在代数证明中有着广泛的应用，我们学习二次函数后还会知道“配方法”在二次函数中也有着广泛的应用． 要点诠释： “配方法”在初中数学中占有非常重要的地位，是恒等变形的重要手段，是研究相等关系，讨论不等关系的常用技巧，是挖掘题目当中隐含条件的有力工具，同学们一定要把它学好． 【考点剖析】 题型一：因式分解法解一元二次方程 例1.方程的根是 . 【变式1】口答下列方程的根： （1） ； （2） ； （3） ； （4） ； （5） ． 【变式2】解下列方程： （1）； （2）． 【变式3】解下列方程： （1）； （2）． 【变式4】解下列方程： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式5】解下列方程： （1）； （2）． 【变式6】解下列方程： （1）； （2）． 【变式7】解下列方程： （1）； （2）． 【变式8】解方程：． 【变式9】解方程：． 【变式10】解方程：． 【变式11】已知一个一元二次方程的两个根分别为2和-3，用刚学的因式分解法思想，直接写出满足条件的一个一元二次方程 ． 【变式12】已知△ABC的一边长为4，另外两边长是关于x的方程的两根，当k为何值时，△ABC是等腰三角形？ 题型二：配方法解一元二次方程 例2．构造完全平方式，完成下列填空： （1）； （2）； （3）； （4）． 【变式1】（2022秋•秦淮区期末）解方程：x2﹣6x+4＝0（用配方法） 【变式2】用配方法解方程：． 【变式3】用配方法解方程：． 【变式4】用配方法解方程：． 【变式5】用配方法解方程：． 【变式6】配方法解方程：． 【变式7】用配方法解方程：． 【变式8】用配方法解方程：． 【变式10】用配方法解方程：． 【变式11】用配方法解方程：（要求用整体法的思想求解）． 【变式12】用配方法解关于x的方程：． 【变式13】若把代数式化为的形式，其中m、k为常数，则 ． 【变式14】已知方程可以配方成的形式，则可以配方成下列的 （ ）． A、 B、 C、 D、 题型三、配方法的应用 例3．在求解代数式2a2﹣12a+22的最值（最大值或最小值）时，老师给出以下解法：解：原式＝2（a2﹣6a）+22＝2（a2﹣6a+9）﹣18+22＝2（a﹣3）2+4，∵无论a取何值，2（a﹣3）2≥0，∴代数式2（a﹣3）2+4≥4，即当a＝3时，代数式2a2﹣12a+22有最小值为4．仿照上述思路，则代数式﹣3a2+6a﹣8的最值为（　　） A．最大值﹣5 B．最小值﹣8 C．最大值﹣11 D．最小值﹣5 【变式1】我们可以将一些形如ax2+bx+c（