第06讲 一元二次方程概念与直接开平方法解方程-【暑假预习】2023年新八年级数学核心知识点与常见题型通关讲解练（沪教版）

第06讲 一元二次方程概念与直接开平方法解方程 【知识梳理】 一、一元二次方程的有关概念 1．一元二次方程的概念： 　　通过化简后，只含有一个未知数(一元)，并且未知数的最高次数是2(二次)的整式方程，叫做一元二次方程． 要点诠释： 识别一元二次方程必须抓住三个条件：（1）整式方程；（2）含有一个未知数；（3）未知数的最高次数是2.不满足其中任何一个条件的方程都不是一元二次方程，缺一不可. 2．一元二次方程的一般形式： 　　一般地，任何一个关于x的一元二次方程，都能化成形如，这种形式叫做一元二次方程的一般形式．其中是二次项，是二次项系数；bx是一次项，b是一次项系数；c是常数项． 要点诠释： 　　(1)只有当时，方程才是一元二次方程； 　　(2)在求各项系数时，应把一元二次方程化成一般形式，指明一元二次方程各项系数时注意不要漏掉前面的性质符号. 3.一元二次方程的解： 　　使一元二次方程左右两边相等的未知数的值叫做一元二次方程的解，也叫做一元二次方程的根. 4.一元二次方程根的重要结论 （1）若a+b+c=0,则一元二次方程必有一根x=1；反之也成立，即若x=1是一元二次方程的一个根，则a+b+c=0. （2）若a-b+c=0,则一元二次方程必有一根x=-1；反之也成立，即若x=-1是一元二次方程的一个根，则a-b+c=0. （3）若一元二次方程有一个根x=0，则c=0；反之也成立，若c=0，则一元二次方程必有一根为0. 二、直接开平方法 形如x2＝p或（nx+m）2＝p（p≥0）的一元二次方程可采用直接开平方的方法解一元二次方程． 如果方程化成x2＝p的形式，那么可得x＝±； 如果方程能化成（nx+m）2＝p（p≥0）的形式，那么nx+m＝±． 注意：①等号左边是一个数的平方的形式而等号右边是一个非负数． ②降次的实质是由一个二次方程转化为两个一元一次方程． ③方法是根据平方根的意义开平方． 【考点剖析】 题型一：一元二次方程的概念 例1.（2021秋·上海·八年级校考阶段练习）下列各方程中：①；②；③；④；⑤一元二次方程的个数有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【变式1】判断下列各式哪些是一元二次方程． ①；②；③ ；④ ； ⑤ ；⑥ ；⑦ ． 【变式2】判断下列方程是否一元二次方程？哪些不是一元二次方程． （1） （为有理数）； （2） ． 【变式3】为何值时，关于的方程是一元二次方程． 【变式4】关于的方程． （1） 当取何值时，方程为一元二次方程？ （2） 当取何值时，方程为一元一次方程？ 【变式5】已知关于的方程是一元二次方程，求的取值范围． 题型二：一元二次方程一般式 例2．（2023·上海·八年级假期作业）一元二次方程的二次项系数、一次项系数和常数项分别是（　　） A．1，4，5 B．0，， C．1，，5 D．1，， 【变式1】将下列方程化为一元二次方程一般形式，并指出二次项系数、一次项系数和常数项： （1）； （2）． 【变式2】已知关于y的一元二次方程m2(y2+m)-3my=y(8y-1)+1，求出它各项的系数，并指出参数m的取值范围． 【变式3】若一元二次方程的常数项为零，则的值为_________． 【变式4】已知关于方程的各项系数与常数项之和为2，求的值． 题型三：一元二次方程的解 例3.判断2、5、-4是不是一元二次方程的根． 【变式1】（2023·上海·八年级假期作业）判断方程后面括号里的数是否为方程的根． (1)； (2)． 【变式2】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【变式3】已知关于的一元二次方程有一个根为1，有一个根为，求的值． 【变式4】已知关于的一元二次方程有一个根为0，求的值． 【变式5】若在一元二次方程中，二次项系数、一次项系数、常数项和为0，则方程必有一个根是 ． 【变式6】已知方程和有共同的解，求与的值． 题型四：直接开平方法 例4．（2022春·上海·七年级期中）解方程：． 【变式1】解关于的方程：． 【变式2】解关于的方程：． 【变式3】解关于的方程：． 【变式4】解关于的方程：． 【变式5】解关于的方程：． 【变式6】解关于的方程：． 【变式7】解关于的方程：． 【变式8】解关于的方程：． 【变式9】（2023·上海·八年级假期作业）解方程： 【过关检测】 一、单选题 1．（2022秋·上海宝山·八年级统考期末）下列方程是一元二次方程的是（     ） A． B． C． D． 2．方程的根为（ ） A． B． C．， D．， 3.关于x的方程是一元二次方程的条件是（ ） A. B. C. D. 4．（2023·上海·八年级假期作业）关于的一元二次方程的一个根是