第23讲 同角三角函数的基本关系-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第23讲 同角三角函数的基本关系 1．理解并掌握同角三角函数基本关系式的推导及应用； 2．会利用同角三角函数的基本关系进行化简、求值与恒等式证明 一、同角三角函数基本关系 1、平方关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的平方和等于1 2、商数关系：， 文字表述：同一个角的正弦、余弦的商等于角的正切 注意以下三点： （1）“同角”有两层含义： 一是“角相同”；二是对“任意”一个角(在使函数有意义的前提下)关系式都成立，即与角的表达形式无关， 如sin23α＋cos23α＝1成立，但是sin2α＋cos2β＝1就不一定成立． （2）sin2α是(sin α)2的简写，读作“sin α的平方”，不能将sin2α写成sin α2，前者是α的正弦的平方， 后者是α2的正弦，两者是不同的，要弄清它们的区别，并能正确书写． （3）注意同角三角函数的基本关系式都是对于使它们有意义的角而言的， sin2α＋cos2α＝1对一切α∈R恒成立，而tan α＝仅对α≠＋kπ(k∈Z)成立． 二、已知某个三角函数值求其余三角函数值的步骤 第一步：由已知三角函数的符号，确定其角终边所在的象限； 第二步：依据角的终边所在象限分类讨论； 第三步：利用同角三角函数关系及其变形公式，求出其余三角函数值。 三、三角函数式的化简技巧 ①化切为弦，即把正切函数都化为正、余弦函数，从而减少函数名称，达到化繁为简的目的． ②对于含有根号的，常把根号里面的部分化成完全平方式，然后去根号达到化简的目的． ③对于化简含高次的三角函数式，往往借助于因式分解，或构造＋＝1，以降低函数次数，达到化简的目的． 四、三角函数恒等式证明 证明三角恒等式的过程，实质上是化异为同的过程，证明恒等式常用以下方法： ①证明一边等于另一边，一般是由繁到简． ②证明左、右两边等于同一个式子(左、右归一)． ③比较法：即证左边－右边＝0或＝1(右边≠0)． ④证明与已知等式等价的另一个式子成立，从而推出原式成立． 考点一：sina、cosa、tana知一求二 例1．已知，在第二象限，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】已知，且为第四象限角，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知是第二象限角，，则（ ） A． B． C． D． 考点二：正、余弦齐次式的应用 例2．已知，则（ ） A． B． C． D． 【变式训练1】若，则的值是（ ） A． B． C． D． 【变式训练2】已知，求下列各式的值. （1）； （2）. 考点三：sinacosa、sina±cosa知一求二 例3．的三个内角为，若，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】已知，，则（ ） A． B． C． D． 考点四：三角函数化简求值问题 例4．（ ） A． B． C． D． 【变式训练】化简：（是第二、三象限角）（ ） A． B． C． D． 考点五：三角恒等式的证明问题 例5．求证：＝. 【变式训练】求证： （1）； （2）. 1．若且，则（ ） A． B． C． D． 2．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的值为（ ） A． B． C．6 D． 4．已知在中，，则（ ） A． B． C． D． 5．已知，且，则（ ） A． B． C． D． 6．若，化简：（ ） A． B． C． D． 7．已知，，则______ 8．已知，则_______． 9．（1）已知，且为第四象限角，求和的值； （2）已知，若是第二象限角，求的值. 10．（1）若，化简：； （2）求证：. 1．已知角，且，则（ ） A． B． C． D． 2．若，，则的值为（ ） A． B． C． D． 3．已知α是第四象限角，，则sinα等于（ ） A． B．