预习课02 空间向量的数量积运算（讲+练）-【暑假教程】2023年高一升高二数学暑假复习+预习（人教A版2019选择性必修第一册）

预习课02 空间向量的数量积运算 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 【例】如图，正方体的棱长为，求，. 3空间向量数量积的性质 (1) (2) 4 空间向量数量积运算律 (1) (2) (交换律) (3) (分配律) (4) 不满足乘法结合律: 【例】如图，正方体的棱长为，设，求： (1) ； (2) 【题型一】数量积的运算 【典题1】 已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 变式练习 1.在空间四边形中，，　（ ） A． B． C． D．不确定 2.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 3.如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为 . 4.已知四面体，，，，，则　　． 【题型二】 数量积的应用 【典题1】 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设． （1）用表示 ；（2）求的长． 【典题2】 在三棱锥中，已知侧棱两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形是锐角三角形． 变式练习 1.如图，在四面体中，，为的中点，为的中点，则　　 （用表示）．若四面体为正四面体，且边长为，则　　． 2.如图所示，在正方体中，求异面直线与所成的角． 3.如图，三棱锥各棱的棱长都是，点是棱的中点，点在棱上，且，记． (1)用向量表示向量；(2)求的最小值． 4.证明线面垂直的判断定理 如图，是平面内的两条相交直线，如果，求证. 【A组---基础题】 1.在棱长为的正方体中，设，则的值为（ ） A． B． C． D． 2.平面上有四个互异点，已知，则的形状是(　　) A．直角三角形 B．等腰直角三角形 C．等腰三角形 D．无法确定 3.在平行六面体(底面是平行四边形的四棱柱中，，，则的长为(　　) A．3 B． C．6 D． 4.(多选)已知四面体的所有棱长都是，分别是棱的中点，则（ ） A． B． C． D． 5.如图，已知四面体的所有棱长都等于，点分别为的中点，则　　． 6.已知空间四边形各边及对角线长都相等，分别为的中点，求与夹角余弦值． 【B组---提高题】 1.已知是正方体内切球的一条直径，点在正方体表面上运动，正方体的棱长是， 则的取值范围为(　　) A． B． C． D． 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！1 学科网（北京）股份有限公司 $ 预习课02 空间向量的数量积运算 1空间向量的夹角及其表示 已知两非零向量在空间任取一点作 则叫做向量的夹角，记作 ；且规定； 若则称互相垂直，记作:. 2 向量的数量积 已知向量 ，则叫做的数量积，记作 即 特别地，零向量与任何向量的数量积为. 【例】如图，正方体的棱长为，求，. 解 是正三角形，， ； . 3空间向量数量积的性质 (1) (2) 4 空间向量数量积运算律 (1) (2) (交换律) (3) (分配律) (4) 不满足乘法结合律: 【例】如图，正方体的棱长为，设，求： (1) ； (2) 解 ； (2)方法1 ； 方法2 . 【题型一】数量积的运算 【典题1】 已知空间四面体的每条棱长都等于，点分别是的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 解析 如图：点分别是的中点，， 空间四面体的每条棱长都等于，每个面都是等边三角形， ， 故选：． 变式练习 1.在空间四边形中，，　（ ） A． B． C． D．不确定 答案 B 解析 根据题意，， 故选：． 2.如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于，点分别为的中点，则等于（ ） A． B． C． D． 答案 B 解析 由题意可得，，故排除． ，故满足条件． ，故排除． ，故排除， 故选：． 3.如图，在三棱锥中，两两垂直，，，为的中点，则的值为 . 答案 解析 由题意得， 故． 4.已知四面体，，，，，则　　． 答案 5 解析 根据题意，四面体，，，，， 则 ； 则； 故答案为：． 【题型二】 数量积的应用 【典题1】 如图，在平行六面体中，，，，，，是的中点，设． （1）用表示 ；（2）求的长． 解析 （1）在平行六面体中，， ． （2） ， 即的长为. 【典题2】 在三棱锥中，已知侧棱两两垂直，用空间向量知识证明：底面三角形是锐角三角形． 证明：两两互相垂直． ， 为锐角，即∠为锐角， 同理∠，∠均为锐角， 为锐角三角形． 变式练习 1.如图，在四