1.4空间向量的应用（讲+练）-【巅峰课堂】2023年新高二数学暑假预习精讲精练(人教A版2019选择性必修第一册)

1.4空间向量的应用 目录 学习内容与学习目标 1 知识梳理 1 学法指导 3 考点剖析 3 考点一：求平面向量的法向量 3 考点二：线线平行 4 考点三：线面平行 5 考点四：面面平行 6 考点五：线线垂直 6 考点六：线面垂直 7 考点七：面面垂直 8 考点八：求点到直线的距离 9 考点九：求点到面的距离 10 考点十：求异面直线的夹角 11 考点十一：直线与平面所成的角 12 考点十二：求二面角的平面角 13 课堂练习 14 1.理解直线的方向向量与平面的法向量，会求一个平面的法向量 2.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的平行关系 3.熟练掌握用方向向量、法向量证明线线、线面、面面间的垂直关系 4.理解点到直线、点到平面距离的公式及其推导.了解利用空间向量求点到直线、点到平面、直线到直线、直线到平面、平面到平面的距离的基本思想． 5.会用向量法求线线、线面、面面夹角. 6.能正确区分向量夹角与所求线线角、线面角、面面角的关系． 概念一、平面的法向量 如图，若直线 l⊥α ，取直线 l 的方向向量a ，我们称a为平面α的法向量；过点A且以 a为法向量的平面完全确定，可以表示为集合 {P|a·＝0}． 概念二、线线平行的向量表示 设u1，u2分别是直线l1，l2的方向向量，则 l1∥l2⇔u1∥u2⇔∃λ∈R，使得u1＝λu2. 概念三、线面平行的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量，l⊄α，则 l∥α⇔u⊥n⇔u·n＝0. 概念四、面面平行的向量表示 设n1 ，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α∥β⇔n1∥n2⇔∃λ∈R，使得n1＝λn2 . 概念五、线线垂直的向量表示 设 u1，u2 分别是直线 l1 , l2 的方向向量，则 l1⊥l2⇔u1⊥u2⇔u1·u2＝0. 概念六、线面垂直的向量表示 设u是直线 l 的方向向量，n是平面α的法向量， l⊄α，则l⊥α⇔u∥n⇔∃λ∈R，使得u＝λn. 概念七、面面垂直的向量表示 设n1，n2 分别是平面α，β的法向量，则 α⊥β⇔n1⊥n2⇔n1·n2＝0. 概念八、点P到直线 l 的距离 已知直线l的单位方向向量为u，A是直线l上的定点，P是直线l外一点，设向量在直线l上的投影向量为＝a，则点P到直线l的距离为 (如图)． 概念九、点P到平面α的距离 设平面α的法向量为n，A是平面α内的定点，P是平面α外一点，则点P到平面α的距离为(如图)． 概念十、空间角的向量法解法 角的分类 向量求法 范围 两条异面直线所成的角 设两异面直线 l1，l2 所成的角为θ，其方向向量分别为u，v，则cos θ＝|cos〈u，v〉|＝ 直线与平面所成的角 设直线AB与平面α所成的角为θ，直线AB的方向向量为u，平面α的法向量为n，则sin θ＝|cos 〈u，n〉|＝ 两个平面的夹角 设平面α与平面β的夹角为θ，平面α，β的法向量分别为n1，n2，则cos θ＝|cos 〈n1，n2〉|＝ 理解直线方向向量的概念 (1)直线上任意两个不同的点都可构成直线的方向向量． (2)直线的方向向量不唯一． 空间向量应用 (1)求点的坐标：可设出对应点的坐标，根据面面平行的判定定理转化为向量共线问题或者利用两个平面的法向量共线，进而建立与所求点的坐标有关的等式． (2)由结论推应具备的条件的逆向推理是逻辑推理中的一种基本形式，通过应用推理的方式与方法，能较好的培养学生的合乎逻辑的思维品质． 利用空间向量解决实际问题 (1)分析实际问题的向量背景，将题目条件、结论转化为向量问题． (2)对于和垂直、平行、距离、角度有关的实际问题，可以考虑建立向量模型，体现了数学建模的核心素养． 求平面法向量的方法与步骤 (1)求平面ABC的法向量时，要选取平面内两不共线向量，如，； (2)设平面的法向量为n＝(x，y，z)； (3)联立方程组并求解； (4)所求出向量中的三个坐标不是具体的值而是比例关系，设定一个坐标为常数(常数不能为0)便可得到平面的一个法向量． 1．已知，则下列向量是平面法向量的是（　　） A． B． C． D． 2．若，，则以下向量中，能成为平面的法向量的是（　　） A． B． C． D． 3．《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑.在鳖臑中，平面，，.若建立如图所示的“空间直角坐标系，则平面的一个法向量为（    ）    A． B． C． D． 4．已知，，，则平面ABC的一个法向量可以是（    ） A． B． C． D． 5．已知，则平面的一个单位法向量是（    ） A． B． C． D． 利用向量证明线线平行的思路 证明线线平行只需证明两条直线的方向向