第04讲 一元二次方程的判别式、根与系数（知识解读+真题演练+课后巩固）-2023-2024学年九年级数学上册《知识解读•题型专练》（北师大版）

第04讲 一元二次方程的判别式、根与系数 1.理解一元二次方程根的判别式并会运用根的判别式判别一元二次方程根的情况； 2.理解一元二次方程根与系数的关系 知识点1：一元二次方程的判别式 根的判别式： ① 时，方程有两个不相等的实数根； ② 时，方程有两个相等的实数根； ③时，方程无实数根，反之亦成立 知识点2：一元二次方程的根与系数 根与系数的关系：即的两根为，则，。利用韦达定理可以求一些代数式的值（式子变形），如 解题技巧： 当一元二次方程的题目中给出一个根让你求另外一个根或未知系数时，可以用韦达定理 【题型 1 判断一元二次方程的根的情况】 【典例1】（2022秋•沈河区期末）一元二次方程3x2﹣6x+4＝0根的情况是（　　） A．有两个相等的实数根 B．无实数根 C．有两个不相等的实数根 D．无法确定 【变式1-1】（2023•中原区校级一模）关于一元二次方程x2+3x＝4根的情况，下列说法中正确的是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 【变式1-2】（2023•伊川县一模）一元二次方程（x+1）（x﹣1）＝2x+3的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B．有两个相等的实数根 C．只有一个实数根 D．没有实数根 【变式1-3】（2023•嘉定区二模）下列关于x的方程一定有实数解的是（　　） A．x2+1＝0 B．x2﹣x+1＝0 C．x2﹣bx+1＝0（b为常数） D．x2﹣bx﹣1＝0（b为常数） 【题型2 根据一元二次方程的实数根求含参数的取范围】 【典例2】（2022秋•甘井子区校级期末）关于x的一元二次方程kx2+2x﹣1＝0有两个相等的实数根，则实数k的取值范围是（　　） A．k＞﹣1 B．k＜﹣1 C．k＝﹣1 D．k＞﹣1且k≠0 【变式2-1】（2022秋•滕州市校级期末）若关于x的一元二次方程x2+2m＝4有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　） A．m＜2 B．m≤2 C．m≥0 D．m＜0 【变式2-2】（2023春•蜀山区校级期中）若一元二次方程（m﹣2）x2﹣4x+2＝0有解，则m的取值范围是（　　） A．m＜4 B．m≤4 C．m≤4且m≠2 D．m＜4且m≠2 【典例3】（2022秋•武汉期末）已知关于x的方程x2﹣（k+2）x+2k﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个不相等的实数根； （2）如果方程的一个根为x＝3，求k的值及方程的另一根． 【变式3-1】已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围；． （2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根． 【变式3-2】已知关于x的方程ax2+2x-3=0有两个不相等的实数根． （1）求a的取值范围；． （2）若此方程的一个实数根为1，求a的值及方程的另一个实数根． 【变式3-3】（2022秋•和平区校级期末）关于x的一元二次方程：． （1）当k＝1时，求方程的根； （2）若此方程有两个不相等的实数根，求k的取值范围． 【题型2 一元二次方程的根与系数的关系】 【典例4】（2021•贵港）已知α，β是一元二次方程x2+x﹣2＝0的两个实数根，则α+β﹣αβ的值是（　　） A．3 B．1 C．﹣1 D．﹣ 【变式4-1】设 是一元二次方程 的两个根，则 的值是（　　） A．2 B．1 C．-2 D．-1 【变式4-2】（2023春•涡阳县期中）若α，β是一元二次方程x2﹣3x﹣4＝0的两个根，则α+β的值为（　　） A．﹣4 B．4 C．﹣3 D．3 【变式4-3】若一元二次方程x2﹣4x﹣2＝0的两个实数根为m，n，则 的值为 　 　． 【典例5】已知关于x的一元二次方程 有两个实数根 ， . （1）求实数m的取值范围； （2）若 ，求m的值. 【变式5-1】已知关于x的一元二次方程x2-4x+k-1=0有实数根． （1）求k的取值范围； （2）若此方程的两实数根x1，x2满足x12+x22=10，求k的值． 【变式5-2】已知关于 的一元二次方程 （1）求证：不论 为何实数,方程总有实数根; （2）若方程的两实数根分别为 ,且满足 ,求 的值. 【变式5-3】（2021秋•蓬溪县期末）已知关于x的一元二次方程mx2﹣2x﹣1＝0有两个不相等的实数根x1，x2． （1）求m的取值范围； （2）当时，求m的值． 1．（2022•梧州）一元二次方程x2﹣3x+1＝0的根的情况（　　） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 2.（2022•河南一模）方程x2+x+1＝0的根的情况是（　　） A．有两个不相等的实数根 B