第22讲 三角函数的概念-【暑假自学课】2023年新高一数学暑假精品课（人教A版2019必修第一册）

第22讲 三角函数的概念 1．借助单位圆理解任意角的三角函数（正弦、余弦、正切）的含义； 2．掌握任意角的三角函数值在各象限的符号； 3．会利用角的终边上的点的坐标求角的正弦、余弦和正切； 4．掌握公式一并会应用 一、三角函数的定义 1、定义：设是一个任意角，它的终边与单位圆交于点，则： 叫做的正弦函数，记作.即； 叫做的余弦函数，记作.即； 叫做的正切函数，记作.即。 2、三角函数定义域 正弦函数、余弦函数、和正切函数统称为三角函数，通常记为： 正弦函数： 余弦函数： 正切函数： 3、三角函数另一种情况 若已知角终边上一点（不与原点重合）不是以坐标原点为圆心的单位圆上的点， 先求，则，，. 三角函数值只与角的大小有关，而与终边上点P的位置无关。 二、三角函数的符号 【口诀记忆】“一全正，二正弦，三正切，四余弦”． 其含义是：第一象限中各三角函数值全是正数，第二象限中只有正弦值为正数，第三象限中只有正切值为正，第四象限中只有余弦值为正． 三、诱导公式一 由三角函数的定义，可以知道：终边相同的角的同一三角函数的值相等，由此得到诱导公式一： 其中 注意：（1）利用诱导公式一，可以把求任意角的三角函数值，转化为求0～2π(或0°～360°)范围内角的三角函数值． （2）上面三个公式也可以统一写成：f(k·2π＋α)＝f(α)(k∈Z)，或f(k·360°＋α)＝f(α)(k∈Z)． 四、特殊角的三角函数值 0° 30° 45° 60° 90° 120° 135° 150° 180° 270° 0 0 1 0 －1 1 0 - - - －1 0 0 1 －1 0 五、三角函数的定义中常见的三种题型及解决方法 1、已知角的终边上一点的坐标，求角的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解； 2、已知角的一个三角函数值和终边上的点P的横坐标或纵坐标，求与角有关的三角函数值 方法：先求出点到原点的距离（带参数），根据已知三角函数值及三角函数的定义建立方程，求出未知数，从而求解问题； 3、已知角的终边所在的直线方程（，），求角的三角函数值 方法：先设出终边上的一点，求出点到原点的距离，再利用三角函数的定义求解（注意的符号，对分类讨论） 考点一：由终边或终边上的点求三角函数 例1．若角的终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】已知角以坐标系中为始边，终边与单位圆交于点，则下列各式正确的有（ ） A． B． C． D． 考点二：由三角函数值求终边上点的参数 例2．角的终边经过点且，则b的值为（ ） A．3 B． C． D．5 【变式训练】若是第二象限角，为其终边上一点，，则值为（ ） A． B． C． D． 考点三：三角函数的符号判断 例3．已知且，则的终边在（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【变式训练】确定下列各式的符号（1）)； （2）. 考点四：圆上的动点与旋转点 例4．点在圆上沿逆时针方向匀速旋转每秒旋转弧度，已知1秒时，点A的坐标为，则3秒时，点A的坐标为（ ） A． B． C． D． 【变式训练】质点P和Q在以坐标原点O为圆心，半径为1的圆周上顺时针作匀速圆周运动，同时出发.P的角速度为3rad/s，起点为射线与圆的交点；Q的角速度为5rad/s，起点为圆与x轴正半轴交点，则当质点Q与P第二次相遇时，Q的坐标为（ ） A． B． C． D． 考点五：诱导公式一的应用 例5．（ ） A． B． C． D． 【变式训练】计算的值是（ ） A． B． C． D． 1．已知角的终边经过点，则的值为（ ） A． B． C． D． 2．已知角的终边经过点，且，则（ ） A． B． C． D． 3．已知角的终边与单位圆的交于点，则为（ ） A． B． C． D． 4．已知第二象限角的终边经过点，则（ ） A．2 B．