(练习)课后素养评价10 解直角三角形的应用-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

1. 如图，为方便行人过某天桥，市政府在10米高的天桥两端修建斜道，设计斜坡满足sin A＝，则斜道AC的长度是(　B　) A. 25米 B. 30米 C. 35米 D. 40米 2. 如图，一艘轮船在A处测得灯塔C在北偏西15°的方向上，该轮船又从A处向正东方向行驶20海里到达B处，测得灯塔C在北偏西60°的方向上，则轮船在B处时与灯塔C之间的距离(即BC的长)为(　D　) A. 40海里 B. (20＋10)海里 C. 40海里 D. (10＋10)海里 解析：如图，过点A作AD⊥BC于点D. 在Rt△ABD中，∠ABD＝90°－60°＝30°，AB＝20海里， ∴AD＝AB＝×20＝10(海里)， BD＝AB＝×20＝10(海里)． ∵∠ABC＝30°，∠BAC＝90°＋15°＝105°， ∴∠C＝180°－105°－30°＝45°， ∴△ACD是等腰直角三角形， ∴CD＝AD＝10海里， ∴BC＝BD＋CD＝(10＋10)海里． 故选D. 3. 某斜坡的坡比为1∶，则该斜坡的坡角α＝　30　°. 4. 如图，某兴趣小组要测量一条河的宽度，已知河的两岸l1和l2平行，在河岸l1上有一根电线杆P，河岸l2上有相距80米的两棵树A，B，测得∠BAP＝75°，∠ABP＝30°，则这条河的宽度是　40　米. 5. 如图，数学学习小组要测量一棵树CE的高度，一名小组成员站在距离树10米的点B处，测得树的顶部E的仰角为34°. 已知测角仪的架高AB＝1米，则这棵树的高度约为　7.7　米. (结果保留一位小数，参考数据：sin 34°≈0.559 2，cos 34°≈0.829 0，tan 34°≈0.674 5) 解析：由题意，得四边形ABCD是矩形， ∴CD＝AB＝1米，AD＝BC＝10米． 在Rt△ADE中，∠ADE＝90°，AD＝BC＝10米，∠DAE＝34°， ∴tan∠DAE＝， ∴DE＝AD·tan∠DAE≈10×0.674 5≈6.7(米)， ∴CE＝DE＋CD≈6.7＋1＝7.7(米). 故这棵树的高度约为7.7米. 6. 某地发生地震后，救援队及时到达现场参与救援，在救援中用热气球进行探测. 如图，探测器显示，从热气球看一栋高楼的顶部B的仰角(∠BAD)为45°，看这栋高楼底部C的俯角(∠CAD)为60°，热气球与高楼的水平距离AD为50 m，求这栋高楼的高度．(结果保留根号) 解：在Rt△ABD中，tan∠BAD＝， ∴BD＝AD·tan 45°＝50×1＝50(m)． 在Rt△ADC中，tan∠CAD＝， ∴CD＝AD·tan 60°＝50×＝50(m)， ∴BC＝BD＋CD＝(50＋50)m. 答：这栋高楼的高度为(50＋50)m. 7. 如图，斜坡BC的长度为4米. 为了安全，决定降低坡度，将点C沿水平方向向外移动4米到点A，使得斜坡AB的长度为4米，则原来斜坡的水平距离CD的长度是(　A　) A. 2米 B. 4米 C. 2米 D. 6米 解析：设CD＝x米，BD＝y米， 在Rt△BCD中，BD2＝BC2－CD2，即y2＝42－x2， 在Rt△BAD中，BD2＝AB2－AD2，即y2＝(4)2－(x＋4)2， ∴42－x2＝(4)2－(x＋4)2， 解得x＝2，即CD＝2米． 故选A. 8. 如图，甲、乙两艘船同时从港口A出发，甲船沿北偏东45°方向前进，乙船沿北偏东75°方向以每小时30海里的速度前进，两船航行两小时分别到达B，C处，此时测得甲船在乙船的正西方向，则此时甲、乙两船之间的距离是　30　海里. 解析：设AB＝2x海里， 如图，作BD⊥AC于点D，在AC上取点E，使BE＝CE， 根据题意可知：∠BAD＝30°，∠C＝15°， ∴∠BED＝30°， ∴AD＝DE＝x，CE＝BE＝AB＝2x， 易得AC＝AD＋DE＋CE＝2×30＝60(海里)， 即x＋x＋2x＝60， ∴x＝15(－1)， ∴AD＝15(3－)， ∴CD＝60－15(3－)＝15＋15， BD＝AB＝15(－1)， ∴BC＝＝30(海里)． 故答案为：30. 9. 某数学社团开展实践性研究，如图，在大明湖南门A测得历下亭C在北偏东37°方向，继续向北走105 m后到达游船码头B，测得历下亭C在游船码头B的北偏东53°方向，则南门A与历下亭C之间的距离约为　300 m　. 10. 如图，某船由西向东航行，在点A处测得小岛O在北偏东60°方向，船航行了10海里后到达点B. 这时测得小岛O在北偏东45°方向，船继续航行到点C时，测得小岛O恰好在船的正北方，求此时船到小岛的距离. (结果保留根号) 解：设OC＝x海里， 依题意，得∠OAB＝30°，∠OBC＝∠BOC＝45°.由题意可知OC⊥