(教参)第3章 3.5 三角形的内切圆-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

3.5　三角形的内切圆 学习目标 1. 掌握三角形的内切圆、圆的外切三角形的定义． 2. 会用尺规作一个三角形的内切圆． 3. 掌握并能应用三角形内切圆的性质解决相关问题. 素养目标 1. 由作图得到三角形的内切圆，培养作图的能力． 2. 类比三角形的外接圆与内切圆，体会数学中的类比学习，进一步培养分析问题和解决问题的能力. 三角形的内切圆 与三角形各边都　相切　的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的　内心　，这个三角形叫做圆的　外切三角形　. 1. 下列关于圆的说法中，正确的是(　D　) A. 等圆中，相等的弦所对的弧也相等 B. 过圆心且平分弦的直线一定垂直于这条弦 C. 经过半径的端点且垂直于这条半径的直线是圆的切线 D. 三角形的内心一定在三角形内部，且到三条边的距离相等 2. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，BC＝3，AB＝5，⊙O是Rt△ABC的内切圆，D，E，F是切点，则⊙O的半径为(　A　) A. 1 B. C. 2 D. 2 解析：∵∠C＝90°，BC＝3，AB＝5， ∴AC＝＝4. 如图，分别连接OA，OB，OC，OD，OE，OF. ∵⊙O是△ABC的内切圆，D，E，F为切点， ∴OD⊥BC，OE⊥AC，OF⊥AB，OD＝OE＝OF， ∴S△ABC＝S△BOC＋S△AOC＋S△AOB ＝BC·OD＋AC·OE＋AB·FO ＝(BC＋AC＋AB)·OD. ∵∠C＝90°， ∴S△ABC＝AC·BC， ∴AC·BC＝(BC＋AC＋AB)·OD， ∴OD＝＝＝1. 故选A. 　三角形的内切圆的应用 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝4，AB＝5.⊙O是△ABC的内切圆，与三边分别相切于点E，F，G. 探究1：求内切圆的半径r； 解：如图，连接OE，OF，OG. ∵⊙O是△ABC的内切圆，∠C＝90°， ∴四边形CEOF是正方形， ∴CE＝CF＝r. 易得AE＝AG，BG＝BF， ∴AG＝AE＝3－r，BG＝BF＝4－r， ∵AG＋BG＝5， ∴(3－r)＋(4－r)＝5. 解得r＝1. 探究2：求tan∠OAG的值． 解：如图，连接OA， 在Rt△AOG中， ∵∠AGO＝90°，OG＝r＝1，AG＝3－r＝2， ∴tan∠OAG＝＝. 1. 如图，⊙O是△ABC的内切圆，∠A＝50°，则∠BOC的大小为(　C　) A. 105° B. 110° C. 115° D. 125° 解析：∵∠A＋∠ABC＋∠ACB＝180°，∠A＝50°， ∴∠ABC＋∠ACB＝180°－∠A＝130°. ∵⊙O是△ABC的内切圆， ∴∠CBO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACB， ∴∠BOC＝180°－∠CBO－∠BCO＝180°－∠ABC－∠ACB＝180°－(∠ABC＋∠ACB)＝180°－×130°＝115°. 故选C. 2. 如图，已知⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F，且∠C＝90°，AB＝13，BC＝12，求⊙O的半径． 解：在Rt△ABC中， ∵∠C＝90°，AB＝13，BC＝12， ∴AC＝＝5. ∵⊙O为Rt△ABC的内切圆，切点分别为D，E，F， ∴BD＝BF，AD＝AE，CF＝CE. 如图，连接OE，OF. 易得OE⊥AC，OF⊥BC，OE＝OF， ∴∠OEC＝∠C＝∠OFC＝90°， ∴四边形OECF是正方形． 设OE＝OF＝CE＝CF＝x，则AD＝AE＝5－x，BF＝BD＝12－x. ∵AD＋BD＝13， ∴(5－x)＋(12－x)＝13， 解得x＝2， 即⊙O的半径为2. 知识点　三角形的内切圆 与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆，内切圆的圆心叫做三角形的内心，这个三角形叫做圆的外切三角形． 【考点诠释】 (1)三角形的内心就是三角形三条角平分线的交点．三角形的内心到三角形各边的距离相等，三角形的内心与三角形顶点的连线平分这个内角． (2)任何一个三角形都有且只有一个内心，三角形的内心在三角形的内部． 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $