(教参)第3章 3.4 直线与圆的位置关系-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

3.4　直线与圆的位置关系 学习目标 1. 掌握直线与圆相交、相切、相离的定义． 2. 明确圆心到直线的距离、半径长、直线与圆的位置关系三者间的关系． 3. 掌握切线的判定定理，并能简单应用． 4. 掌握切线的性质定理，并能简单应用． 5. 理解切线长定理，并能简单应用. 素养目标 1. 由直线与圆的公共点的个数，归纳得出直线与圆的三种位置关系，培养分析、归纳的能力，体会渗透与转化的数学思想． 2. 在计算与证明中，培养分析问题、解决问题及综合运用知识的能力. 一、直线与圆的位置关系 　　 图1　　　　　图2　　　　图3 相交：当直线l与⊙O有两个公共点时(图1)，叫做直线l与⊙O　相交　.直线l叫做⊙O的　割线　. 相切：当直线l与⊙O有唯一的公共点时(图2)，叫做直线l与⊙O　相切　.直线l叫做⊙O的　切线　，唯一的公共点叫做　切点　. 相离：当直线l与⊙O没有公共点时(图3)，叫做直线l与⊙O　相离　. 设⊙O的半径为r，圆心O到直线l的距离OP为d. 当直线l与⊙O相交时，　d<r　 ；反之，当d<r 时，直线l与⊙O　相交　. 当直线l与⊙O相切时，　d＝r　 ；反之，当d＝r 时，直线l与⊙O　相切　. 当直线l与⊙O相离时，　d>r　 ；反之，当d>r 时，直线l与⊙O　相离　. 1. 已知半径为5的圆，直线l上一点到圆心的距离是5，则直线和圆的位置关系为(　C　) A. 相切 B. 相离　　C. 相切或相交 D. 相切或相离 2. 如图，两个同心圆，大圆的半径为5，小圆的半径为3，若大圆的弦AB与小圆有公共点，则弦AB的取值范围是(　A　) A. 8≤AB≤10 　　 B. 8＜AB≤10 C. 4≤AB≤5 D. 4＜AB≤5 解析：如图，过点O作OC⊥AB于点C，连接OA，则AC＝BC， ∴AC＝＝. 当AB与小圆相切时，大圆的弦AB与小圆有唯一公共点，OC取最大值3，此时AC最小值为＝4，弦AB的最小值为8； 当OC为0时，AB最大，AB为大圆的直径，即AB的最大值为10. 综上，弦AB的取值范围是8≤AB≤10. 故选A. 二、切线的判定定理 过半径的　外端　并且　垂直　于半径的直线是圆的切线． 三、切线的性质定理 圆的切线　垂直　于经过切点的半径． 1. 如图，点A，B均在⊙O上，直线PC与⊙O相切于点C，若∠A＝35°，则∠P等于(　A　) A. 20° B. 25°　　C. 30° D. 35° 解析：如图，连接OC. ∵PC与⊙O相切于点C， ∴∠OCP＝90°. ∵∠A＝35°，OA＝OC， ∴∠A＝∠ACO＝35°， ∴∠POC＝2∠A＝70°， ∴∠P＝20°. 故选A. 2. 如图，A，B是⊙O上的两点，AC是过点A的一条直线，如果∠AOB＝120°，那么当∠CAB＝　60　°时，AC与⊙O相切． 四、切线长定理 1. 切线长：经过圆外一点可以画圆的两条切线，这点与其中一个　切点　之间的线段的长，叫做这点到圆的切线长． 2. 切线长定理：过圆外一点所画的圆的两条切线长　相等　. 如图，PA，PB分别与⊙O相切于点A，B，MN与⊙O相切于点C，分别交PA，PB于点M，N，若PA＝7.5 cm，求△PMN的周长． 解：∵直线PA，PB，MN分别与⊙O相切于点A，B，C， ∴MA＝MC，NC＝NB，PA＝PB， ∴△PMN的周长＝PM＋PN＋MC＋NC ＝PM＋PN＋MA＋NB ＝PA＋PB ＝7.5＋7.5＝15(cm)． 　切线的性质与判定的应用 如图，AB是⊙O的直径，弦AD平分∠BAC，过点D作DE⊥AC于点E.ED，AB的延长线相交于点F. 探究1：求证：ED是⊙O的切线； 证明：∵DE⊥AC， ∴∠AEF＝90°. 如图，连接OD. ∵OA＝OD， ∴∠OAD＝∠ODA. ∵AD是∠BAC的平分线， ∴∠DAC＝∠DAB， ∴∠DAE＝∠ODA， ∴OD∥AC， ∴∠ODF＝∠AEF＝90°， ∴OD⊥EF. ∵OD为半径， ∴ED是⊙O的切线． 探究2：若AE＝5，EF＝12，求⊙O的半径． 解：在Rt△AEF中，根据勾股定理，得 AF＝＝13. 设⊙O的半径为r， 则OD＝r，OF＝13－r， 由探究1知，OD∥AE， ∴△OFD∽△AFE， ∴＝， 即＝， 解得r＝. 1. 已知⊙O的半径为5 cm，点O到同一平面内直线l的距离为6 cm，则直线l与⊙O的位置关系是(　C　) A. 相交 B. 相切　C. 相离 D. 无法判断 2. 如图，AB是⊙O的弦，AC是⊙O的切线，A为切点，BC经过圆心．若∠C＝50°，则∠B的度数为　20°　. 3. 如图，PA，PB是⊙O的切线，A，B为切点，∠APB＝40°，C是⊙O上不同于A，B的任意一点，求∠