(教参)第2章 2.5 解直角三角形的应用-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

2.5　解直角三角形的应用 学习目标 1. 了解仰角、俯角的概念，能应用解直角三角形解决与仰角、俯角相关的观测实际问题． 2. 了解坡度(坡比)的概念，能应用解直角三角形解决与坡度(坡比)相关的实际问题. 素养目标 了解数学建模思想，能将实际问题中的数量关系转化为解直角三角形中元素之间的关系. 一、解直角三角形的应用——仰角、俯角 仰角：从低处观测高处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做　仰角　. 俯角：从高处观测低处的目标时，视线与水平线所成的锐角叫做　俯角　. 二、解直角三角形的应用——坡度(坡比) 如图是一段斜坡的横断面． 坡比：把斜坡起止点A，B的高度差h与它们的水平距离l的比叫做坡度(或坡比)，通常用字母i表示，即i＝　h∶l　. 如图，斜坡AB与水平线AC的夹角记作α，那么i＝＝　tan α　.也就是说，坡度等于锐角α的正切值． 1. 如图，某地修建高速公路，要从A地向B地修一条隧道(点A，B在同一水平面上)．为了测量A，B两地之间的距离，一架直升机从A地出发，垂直上升900米到达C处，在C处观察B地的俯角为α，则A，B两地之间的距离为(　D　) A. 900sin α米 B. 900tan α米 C. 米 D. 米 解析：由题意知∠BAC＝90°，∠ABC＝α，AC＝900米． ∵tan∠ABC＝， ∴AB＝＝(米)． 故选D. 2. 如图，一艘轮船由西向东航行到O处时，发现A岛在北偏东64°的方向且与轮船相距52海里，在A岛周围20海里水域有暗礁. 若该轮船不改变航向继续航行，为了保证航行安全，需要计算点A到OB的距离AC.下列算法中正确的是(　A　) A. AC＝52cos 64° B. AC＝ C. AC＝52sin 64° D. AC＝52tan 64° 解析：由题意，得∠CAO＝64°， ∴cos∠CAO＝， 即cos 64°＝， ∴AC＝52cos 64°. 3. 河堤横断面如图所示，堤高AC＝2米，迎水坡AB的坡比是1∶3，即，则AB的长为　2米　. 解析：∵迎水坡AB的坡比是1∶3，即＝，AC＝2米， ∴BC＝3AC＝3×2＝6(米)， ∴AB＝＝＝2(米)． 故答案为：2米. 　解直角三角形的应用——仰角与俯角 如图，某种路灯灯柱BC垂直于地面，与灯杆AB相连. 已知直线AB与直线BC的夹角是76°，在地面点D处测得点A的仰角是56°，点B的仰角是45°，点A与点D之间的距离为 3.5 米. (结果精确到0.1米，参考数据：sin 56°≈0.8，cos 56°≈0.6，sin 76°≈0.97，cos 76°≈0.24) 　 探究1：求点A到地面的距离； 解：如图，过点A作AF⊥CD，垂足为点F. 在Rt△AFD中，AF＝ADsin 56°≈3.5×0.8＝2.8(米)， 答：点A到地面的距离约为2.8米． 探究2：求AB的长. 解：如探究1图，过点A作AG⊥EC，垂足为点G， 则AF＝GC，AG＝CF. 在Rt△AFD中，DF＝ADcos 56°≈3.5×0.6＝2.1(米)． 设CF为x米，则CD为(2.1＋x)米， 在Rt△BCD中，∠BDC＝45°， ∴BC＝CD＝(2.1＋x)米， ∴GB＝GC－BC＝2.8－(2.1＋x)＝(0.7－x)米． tan 76°＝≈＝， 在Rt△AGB中，tan 76°＝， ∴≈， 解得x≈0.56， ∴CF＝AG＝0.56米， ∴AB＝≈≈0.6(米). 1. 如图，在C处测得旗杆AB的顶端A的仰角为30°，向旗杆前进10米到达D处，在D处测得A的仰角为60°，则旗杆的高为(　C　) A. (5＋3)米 B. 10米 C. 5米 D. (5＋5)米 2. 如图，测角仪CD竖直放在距建筑物AB底部5 m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.1 m，则建筑物AB的高度约为　7.1 m　. (结果精确到0.1 m，参考数据：sin 50°≈0.77，cos 50°≈0.64，tan 50°≈1.19) 解析：如图，过点D作DE⊥AB于点E， 则四边形DCBE为矩形， ∴DE＝BC＝5 m，BE＝CD＝1.1 m. 在Rt△ADE中，∠ADE＝50°，tan∠ADE＝， 则AE＝DE·tan∠ADE≈5×1.19＝5.95(m)， ∴AB＝AE＋BE≈5.95＋1.1≈7.1(m)． 故答案为：7.1 m. 　解直角三角形的应用——坡度(坡比) 如图，为测量一座山峰CF的高度，将此山的某侧山坡划分为AB和BC两段，每一段山坡近似是“直”的，测得坡长AB＝800米，BC＝200米，坡面AB的坡度为1∶，坡面BC的坡度为1∶1. 探究1：求AB段山坡的高度EF； 解：如图，过点B作