(教参)第2章 2.4 解直角三角形-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（青岛版）

2.4　解直角三角形 学习目标 1. 了解解直角三角形的定义． 2. 掌握直角三角形中五个元素的关系，会运用勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角比解直角三角形. 素养目标 1. 通过勾股定理，直角三角形两锐角互余及锐角三角比等知识的综合运用，发展分析问题及综合应用知识的能力． 2. 在解直角三角形的过程中，体会数形结合思想的应用. 解直角三角形 1. 定义：由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做　解直角三角形　. 2. 直角三角形中的关系 在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，除∠C＝90°外，常用到以下关系： (1)角之间的关系：∠A＋∠B＝90°； (2)边之间的关系：a2＋b2＝c2； (3)角与边之间的关系：sin A＝，cos A＝，tan A＝. 1. 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos A＝，AB＝10，则AC的长为(　C　) A. 3 B. 4 C. 6 D. 8 2. 如图，在△ABC中，AB＝5，BC＝13，AD是边BC上的高，若AD＝4，则tan C＝　　. 解析：∵AD是边BC上的高， ∴∠ADB＝∠ADC＝90°. ∵AB＝5，AD＝4， 由勾股定理，得 BD＝＝3. ∵BC＝13， ∴CD＝BC－BD＝10， ∴tan C＝＝＝. 3. 如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2.解这个直角三角形. 解：在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝2， ∴AB＝＝＝4. ∵tan A＝＝＝， ∴∠A＝60°， ∴∠B＝90°－∠A＝90°－60°＝30°. 　解直角三角形 如图，在△ABC中，∠C＝90°，点D，E分别在AC，AB上，BD平分∠ABC，DE⊥AB于点E，AE＝6，cos A＝. 探究1：求CD的长； 解：在Rt△ADE中，∠AED＝90°，AE＝6，cos A＝， ∴AD＝＝10， ∴DE＝＝＝8. ∵BD平分∠ABC，DE⊥AB，DC⊥BC， ∴CD＝DE＝8. 探究2：求tan∠DBC的值. 解：由探究1知AD＝10，DC＝8， ∴AC＝AD＋DC＝18. 在△ADE与△ABC中， ∠A＝∠A，∠AED＝∠ACB， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝，即＝， ∴BC＝24， ∴tan∠DBC＝＝＝. 1. 已知等腰三角形的底边长为10 cm，周长为36 cm，则底角的正切值为(　C　) A. B. C. D. 解析：画出示意图如图所示． ∵等腰三角形的底边长为10 cm，周长为36 cm， ∴BC＝10 cm，AB＝AC＝13 cm. 过点A作AD⊥BC，垂足为点D. 则BD＝CD＝5 cm. 在Rt△ABD中， AD＝＝＝12(cm). ∴tan B＝＝. 故选C. 2. 在正方形网格中，格点A，B，C的位置如图所示，则sin∠ABC的值是　　. 解析：如图，取格点D，连接AD. 由勾股定理，得 BD＝＝，AD＝＝2， AB＝＝5. ∵()2＋(2)2＝52， ∴∠ADB＝90°， ∴sin∠ABC＝＝. 3. 如图，在△ABC中，∠B＝45°，∠C＝75°，夹边BC的长为6，求△ABC的面积. 解：如图，作CD⊥AB于点D. ∵∠B＝45°，CD⊥AB，∴∠BCD＝45°. ∵BC＝6， ∴CD＝BD＝3. 在Rt△ACD中，∠ACD＝75°－45°＝30°， ∴tan 30°＝＝， ∴AD＝， ∴S△ABC＝AB·CD＝×(3＋)×3＝9＋3， ∴△ABC的面积是9＋3. 知识点　解直角三角形 由直角三角形中已知的元素求出未知元素的过程，叫做解直角三角形．其中，我们在解决解直角 三角形的问题时，经常用到的知识点有直角三角形的两锐角互补，勾股定理，锐角三角比等． 【考点诠释】 (1)直角三角形中，除直角外，如果再知道直角三角形的两个元素，就可以求其他元素了．但是要注意，已知元素中至少有一个要是边． (2)有些题目中没有给出直角三角形的条件，可以通过作高等辅助线构造直角三角形，然后通过解直角三角形解决问题． (3)解直角三角形在数学中有广泛的应用．常见考点有由三角比的值探索线段或角的关系，由线段关系求角及生活中的测量、航行等实际应用问题． 6/6 学科网（北京）股份有限公司 $