16 微阶段指导(九)-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

微阶段指导(九) (范围：*相似三角形判定定理的证明　利用相 似三角形测高　相似三角形的性质　图形的位似) 知识链接 知识速练 一、利用相似三角形测高 1. 如图，小明为了测量高楼MN的高度，在离N 20米的A处放了一个平面镜，小明沿NA方向从A后退1.5米到C，此时从镜子中恰好看到楼顶的M. 已知小明的眼睛(B)到地面的高度是 1.6米，则大楼MN的高度(精确到0.1米)约是(　C　) A. 18.75米 B. 18.8米 C. 21.3米 D. 19米 解析：∵BC⊥CA，MN⊥AN， ∴∠C＝∠MNA＝90°. 又∵∠BAC＝∠MAN， ∴△BCA∽△MNA， ∴＝， 即＝， ∴MN＝1.6×20÷15≈21.3(米)， ∴楼房MN的高度约为21.3米． 故选C. 二、相似三角形的性质 1. 定理：相似三角形对应高的比、对应角平分线的比、对应中线的比都等于相似比. 2. 定理：相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方. 2. 如果两个相似三角形对应角平分线的比是2∶3，那么它们的对应边的比是(　A　) A. 2∶3　　 B. 4∶9 C. 16∶81 D. ∶ 3. 若两个相似三角形的面积比为3∶4，则它们的相似比为　∶2　，周长的比为　∶2　. 三、图形的位似 一般地，如果两个相似多边形任意一组对应顶点P，P′所在的直线都经过同一点O，且有OP′＝k·OP(k≠0)，那么这样的两个多边形叫做位似多边形，点O叫做位似中心．实际上，k就是这两个相似多边形的相似比． 图1中的两个五边形就是位似五边形，图2每组中的两个五边形也是位似五边形． 平面直角坐标系中的位似变换：在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、纵坐标都乘同一个数k(k≠0)，所对应的图形与原图形位似，位似中心是坐标原点，它们的相似比为|k|. 图1 (1)　　　 　　(2) 图2 4. 四边形ABCD与四边形A′B′C′D′位似，点O为位似中心．若AB∶A′B′＝2∶3，则OB∶OB′＝　2∶3　. 5. 如图，线段BC的两端点的坐标分别为B(3,8)，C(6,3)，以点A(1,0)为位似中心，将线段BC缩小为原来的后得到线段DE，则端点D的坐标为　(2,4)　. 解析：∵将线段BC缩小为原来的后得到线段DE， ∴△ADE∽△ABC， ∴＝＝， ∴点D是线段AB的中点． ∵A(1,0)，B(3,8)， ∴点D的坐标为(2,4)． 故答案为(2,4). 　[时间：60分钟　满分：100分] 一、选择题(每小题4分，共32分) 1. 如果两个相似三角形的相似比为4∶3，那么这两个相似三角形的面积比为(　C　) A. 2∶ B. 4∶3 C. 16∶9 D. 256∶81 2. 如图，已知零件的外径为25 mm，现用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等，OC＝OD)量零件的内孔直径AB，若OC∶AC＝1∶3，量得CD＝10 mm，则零件的厚度x为(　B　) A. 2 mm B. 2.5 mm C. 3 mm D. 3.5 mm 3. 某数学兴趣小组来到城关区时代广场，设计用手电来测量广场附近某大厦CD的高度．如图，点P处放一水平的平面镜. 光线从点A出发经平面镜反射后刚好射到大厦CD的顶端C处．已知AB⊥BD，CD⊥BD，测得AB＝1.5米，BP＝2米，PD＝52米，那么该大厦的高度约为(　A　) 第3题图 A. 39米 B. 30米 C. 24米 D. 15米 4. 如图，某测量人员站在地面点B处利用标杆FC测量一旗杆ED的高度. 测量人员眼睛处点A与标杆顶端处点F、旗杆顶端处点E在同一直线上，点B，C，D也在同一条直线上. 已知此测量人员眼睛到地面的距离AB＝1.6米，标杆高FC＝3.2米，且BC＝1米，CD＝5米，则旗杆的高度为(　C　) 第4题图 A. 8.4米 B. 9.6米 C. 11.2米 D. 12.4米 解析：如图，作AH⊥ED于点H，交FC于点G. ∵FC⊥BD，ED⊥BD， ∴FG∥EH. ∵AH⊥ED，BD⊥ED，AB⊥BC，ED⊥BC， ∴AH＝BD，AG＝BC. ∵AB＝1.6米，FC＝3.2米，BC＝1米，CD＝5米， ∴FG＝3.2－1.6＝1.6(米)，BD＝1＋5＝6(米)． ∵FG∥EH， ∴＝，即＝，解得EH＝9.6， ∴ED＝9.6＋1.6＝11.2(米)． ∴旗杆的高度为11.2米． 故选C. 5. 已知△ABC的各边长分别为2,5,6，与其相似的△A′B′C′的最大边长为18，则△ABC与△A′B′C′的面积比等于(　C　) A. 1∶3 B. 1∶6 C. 1∶9 D. 4∶9 解析：∵△ABC的各边长分别为2,5,6，与其相似的△A′B′C