4 核心素养提升(一)-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

核心素养提升(一) (特殊平行四边形的解题技巧) 如图，在菱形ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，过点C作AC的垂线，过点D作BD的垂线，两直线相交于点E. (1)求证：四边形OCED是矩形； (2)若CE＝1，CD＝，求四边形ABCD的面积. (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD， ∴∠COD＝90°. ∵CE⊥AC，DE⊥BD， ∴∠BDE＝∠OCE＝90°， ∴四边形OCED是矩形． (2)解：由(1)知，四边形OCED是矩形，则CE＝OD＝1. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD＝2OD＝2，AC＝2OC，AC⊥BD， ∴OC＝＝＝2， ∴AC＝2OC＝4， ∴菱形ABCD的面积为AC·BD＝×4×2＝4. 　　数学建模之“模型思想” 【角度1】　类比思想 1. 如图1，点O是菱形ABCD对角线的交点，点P是对角线AC上一动点，过点P作PE⊥直线AD于点E，PF⊥直线CD于点F，AB＝10，AC＝16. (1)填空：BD＝　12　. (2)点P在运动过程中，PE＋PF的值是否发生变化？若不变，请求出PE＋PF的值；若变化，请说明理由． (3)如图2，若点P在线段AC的延长线上运动，求PE－PF的值. 图1　　　　　　　　　图2 【探究思路】　本题考查了菱形的性质及勾股定理．连接DP，由S△ACD＝S△ADP＋S△CDP可得出PE＋PF的值；连接DP，根据S△ADP＝S△ACD＋S△CDP可得出答案. 【自主解答】 解：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴OA＝OC，OB＝OD，AC⊥BD. ∵AC＝16，∴OA＝8. 在Rt△AOB中，OB＝＝＝6， ∴BD＝2OB＝12. 故答案为12. (2)PE＋PF的值不变． 如图1，连接DP. 图1 ∵S△ACD＝S△ADP＋S△CDP， ∴AC·DO＝AD·PE＋CD·PF， ∴16×6＝10PE＋10PF， ∴PE＋PF＝. (3)如图2，连接DP. 图2 ∵S△ADP＝S△ACD＋S△CDP， ∴AD·PE＝AC·OD＋CD·PF， ∴10PE＝16×6＋10PF， ∴PE－PF＝. 【角度2】　半角模型 2. 如图，正方形ABCD的边长为6，E，F分别是边AB，BC上的点，且∠EDF＝45°，将△DAE绕点D逆时针旋转90°，得到△DCM. (1)求证：EF＝CF＋AE； (2)当AE＝2时，求EF的长. 【探究思路】　由旋转可得DE＝DM，∠EDM为直角，可得出∠EDF＋∠MDF＝90°，由∠EDF＝45°，得到∠MDF＝45°，可得出∠EDF＝∠MDF，再由DF＝DF，利用SAS可得出△DEF与△DMF全等，由全等三角形的对应边相等可得出EF＝CF＋AE；在Rt△EBF中，利用勾股定理求得EF的长． 【自主解答】 (1)证明：∵△DAE绕点D逆时针旋转90°得到△DCM， ∴∠FCM＝∠FCD＋∠DCM＝180°，AE＝CM. ∴F，C，M三点共线． ∵DE＝DM，∠EDM＝90°， ∴∠EDF＋∠MDF＝90°. ∵∠EDF＝45°， ∴∠MDF＝∠EDF＝45°. 在△DEF和△DMF中， ∴△DEF≌△DMF(SAS)， ∴EF＝MF， ∴EF＝CF＋AE. (2)解：设EF＝MF＝x. ∵AE＝CM＝2，且BC＝AB＝6， ∴BM＝BC＋CM＝6＋2＝8，EB＝AB－AE＝6－2＝4， ∴BF＝BM－MF＝BM－EF＝8－x. 在Rt△EBF中，由勾股定理，得EB2＋BF2＝EF2， 即42＋(8－x)2＝x2， 解得x＝5， 则EF＝5. 【角度3】　动点类问题 3. 如图，在矩形ABCD中，AB＝10，AD＝4，E为边CD上一点，CE＝7，点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着边BA向终点A运动，连接PE，AE. 设点P运动的时间为t s. (1)当t＝1时，判断△PAE是否为直角三角形，请说明理由． (2)是否存在这样的t，使EA平分∠PED？若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由. 【探究思路】　过点P作PF⊥CD于点F，用含t的式子分别表示出BP，AP和EF等线段，然后按照勾股定理的逆定理做出判断即可；假设存在这样的t，使EA平分∠PED，则可推得PE＝PA＝10－t，在Rt△PEF中，由勾股定理得出关于t的方程，求得t的值即可. 【自主解答】 解：(1)如图，过点P作PF⊥CD于点F. 由题意，得BP＝t，AP＝10－t，PF＝4，EF＝7－t. 当t＝1时，△PAE不是直角三角形．理由如下： 当t＝1时，PE2＝PF2＋EF2＝42＋(7－t)2＝16＋36＝52， AP2＝(10－t)2＝81. ∵在矩形ABCD中，AB＝10，CE＝7， ∴DC＝AB＝10， ∴DE＝DC－CE＝10－7