2 微阶段指导(二)-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

微阶段指导(二) (范围：正方形的性质与判定) 知识链接 知识速练 一、正方形的性质 1. 正方形的四个角都是直角，四条边相等. 2. 正方形的对角线相等且互相垂直平分. 总结：正方形具备平行四边形、菱形、矩形的所有性质. 1. 如图，延长正方形ABCD的边BC至点E，使CE＝AC，连接AE交CD于点F，则∠E＝　22.5°　. 二、正方形的判定 1. 有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形是正方形． 2. 有一组邻边相等的矩形是正方形. 3. 对角线互相垂直的矩形是正方形. 4. 有一个角是直角的菱形是正方形. 5. 对角线相等的菱形是正方形． 总结：既是菱形又是矩形的四边形是正方形. 2. 如图，在四边形ABCD中，对角线AC，BD相等且互相平分，再添加一个条件，使得四边形ABCD是正方形，可添加的条件是　AB＝BC(答案不唯一)　. (填一个即可) 　[时间：60分钟　满分：100分] 一、选择题(每小题4分，共32分) 1. 如果要证明四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明(　C　) A. AC与BD互相垂直平分 B. ∠A＝∠B且AC＝BD C. AB＝AD且AC＝BD D. AB＝AD且AC⊥BD 2. 下列说法不正确的是(　B　) A. 一组邻边相等的矩形是正方形　 B. 有一组邻边相等、一个角是直角的四边形是正方形　 C. 对角线相等的菱形是正方形　 D. 对角线互相垂直的矩形是正方形 3. 如图，将矩形纸片ABCD折叠，使点A落在BC边上的点F处，折痕为BE. 若沿EF剪下，则折叠部分是一个正方形，其数学原理是(　A　) A. 邻边相等的矩形是正方形 B. 对角线相等的菱形是正方形 C. 两个全等的直角三角形构成正方形 D. 轴对称图形是正方形 解析：∵将矩形纸片折叠，A落在BC上的F处， ∴BA＝BF. ∵折痕为BE，沿EF剪下， ∴四边形ABFE为矩形， ∴四边形ABFE为正方形． 其数学原理是：邻边相等的矩形是正方形． 故选A. 4. 正方形具有而矩形不一定具有的性质是(　A　) A. 对角线互相垂直 B. 对角线相等 C. 对角互补 D. 四个角相等 5. 如图，在正方形ABCD中，点E是对角线AC上的一点，且AE＝AB，连接BE，DE，则∠CDE的度数为(　B　) 第5题图 A. 20° B. 22.5° C. 25° D. 30° 解析：∵四边形ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠ADC＝90°，∠DAC＝45°. ∵AE＝AB， ∴AD＝AE， ∴∠ADE＝∠AED＝67.5°， ∴∠CDE＝90°－67.5°＝22.5°. 故选B. 6. 在一次数学课上，张老师出示了一个题目：“如图，▱ABCD的对角线相交于点O，过点O作EF⊥BD，分别交AB，CD于点F，E，连接DF，BE. 请根据上述条件，写出一个正确结论. ”其中四位同学写出的结论如下： 第6题图 小青：OE＝OF；小何：四边形DFBE是正方形；小夏：S四边形AFED＝S四边形FBCE；小雨：∠ACE＝∠CAF. 以上结论不正确的是(　B　) A. 小青 B. 小何 C. 小夏 D. 小雨 解析：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴OA＝OC，CD∥AB， ∴∠ECO＝∠FAO，故小雨的结论正确； 在△EOC和△FOA中， ∴△EOC≌△FOA(ASA)， ∴OE＝OF，故小青的结论正确； ∴S△EOC＝S△AOF， ∴S四边形AFED＝S△ADC＝S平行四边形ABCD， ∴S四边形AFED＝S四边形FBCE，故小夏的结论正确； ∵△EOC≌△FOA， ∴EC＝AF. ∵CD＝AB， ∴DE＝FB，DE∥FB， ∴四边形DFBE是平行四边形． ∵OD＝OB，EO⊥DB， ∴ED＝EB， ∴四边形DFBE是菱形，无法判断是正方形，故小何的结论错误． 故选B. 7. 如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的顶点D在y轴上且A(－3,0)，B(2，b)，则正方形ABCD的面积是(　C　) A. 20 B. 16 C. 34 D. 25 解析：如图，作BM⊥x轴于点M. ∵四边形ABCD是正方形， ∴AD＝AB，∠DAB＝90°， ∴∠DAO＋∠BAM＝90°，∠BAM＋∠ABM＝90°， ∴∠DAO＝∠ABM. 在△DAO和△ABM中， ∴△DAO≌△ABM(AAS)， ∴OA＝MB，DO＝AM. ∵A(－3,0)，B(2，b)， ∴OA＝3，OM＝2， ∴OD＝AM＝5， ∴AD＝＝， ∴正方形ABCD的面积为34. 故选C. 8. 如图，AD是△ABC的角平分线，DE⊥AB于点E，DF⊥AC于点F，连接EF交AD于点G. 有以下