(练习)课后素养评价29 相似三角形判定定理的证明-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

1. 在Rt△ABC和Rt△DEF中，∠C＝∠F＝90°，下列条件中不能判定这两个三角形相似的是(　C　) A. ∠A＝55°，∠D＝35° B. AC＝9，BC＝12，DF＝6，EF＝8 C. AC＝3，BC＝4，DF＝6，DE＝8 D. AB＝10，AC＝8，DE＝15，EF＝9 2. 如图，已知矩形ABCD中，点E是边AD上的任一点，连接BE，过点E作BE的垂线交BC的延长线于点F，交边CD于点P，则图中共有相似三角形(　A　) A. 6对　　B. 5对　　C. 4对　　D. 3对 解析：根据矩形的性质得到∠A＝∠ABC＝∠D＝∠DCB＝90°，根据邻补角的定义得到∠PCF＝90°，根据余角的性质得到∠ABE＝∠DEP，最后根据相似三角形的判定定理即可得到结论． 3. 如图，小正方形的边长均为1，则下列图中的三角形(阴影部分)与△ABC相似的是(　A　) 　　　　 　　　　　　　　　　 A　　　　B　　　C　　　D 解析：利用△ABC中，∠ACB＝135°，AC＝，BC＝2，然后根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似对各选项进行判定即可． 4. 如图，在△ABC中，D是边AB上一点，当满足条件　∠ACD＝∠B　(只填写一个正确的条件即可)时，△ACD∽△ABC. 解析：要使两三角形相似，已知一组公共角，则再添加一组角或夹此角的两边成比例即可判定两个三角形相似． 5. 如图，等边三角形ABC的边长为3，P为边BC上一点，D为边AC上一点，且∠APD＝60°，BP＝1. (1)证明：△ABP∽△PCD； (2)求CD的长． (1)证明：∵三角形ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°. ∵∠APD＝60°， ∴∠APB＋∠CPD＝120°. 在△APB中，∠APB＋∠BAP＝120°， ∴∠BAP＝∠CPD， ∴△ABP∽△PCD. (2)解：∵等边三角形ABC的边长为3， ∴BC＝AB＝3. 又∵BP＝1， ∴PC＝BC－BP＝2. 由(1)，得△ABP∽△PCD， ∴＝， ∴＝， ∴CD＝. 6. 如图，在边长为1的正方形网格中有两个三角形△ABC和△DEF，证明：这两个三角形相似． 证明：由题图可知，∠B＝∠E＝45°， 由勾股定理，得BC＝＝，DE＝＝3， ∴＝，＝＝， ∴＝， ∴△ABC∽△DEF. 7. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于点D，BD＝4，AD＝9，求BC的长． 解：∵CD⊥AB，BD＝4，AD＝9， ∴∠CDB＝90°，AB＝BD＋AD＝4＋9＝13， ∴∠CDB＝∠ACB＝90°. 又∵∠B＝∠B， ∴△ACB∽△CDB， ∴＝，即＝， ∴BC＝2. 8. 如图，在▱ABCD中，对角线AC与BD相交于点O，E为OD的中点，连接AE并延长交DC于点F，则DF∶FC等于(　D　) A. 1∶4　　B. 1∶3　　C. 2∶3　　D. 1∶2 解析：∵四边形ABCD为平行四边形， ∴AB∥DC，AB＝DC， ∴△DFE∽△BAE， ∴＝. ∵O为对角线AC与BD的交点， ∴DO＝BO. 又∵E为OD的中点， ∴DE＝DB， 则DE∶EB＝1∶3， ∴DF∶AB＝1∶3. ∵DC＝AB， ∴DF∶DC＝1∶3， ∴DF∶FC＝1∶2. 9. 如图，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8 m，AB＝10 m，点P从点B出发，沿BC方向以2 m/s 的速度移动，点Q从点C出发，沿CA方向以1 m/s的速度移动，任意一点先到达终点即停止运动．若点P，Q同时分别从点B，C出发，经过　2.4　s，△CPQ ∽△CBA. 解析：设经过t s时，△CPQ∽△CBA，根据相似三角形的性质得到CP∶CB＝CQ∶CA，解方程即可得到结论． 10. 如图，在△ABC中，AB＝AC＝10，延长AC到点E，使CE＝AC，过点B作BE的垂线交AC于点D，若D为AC的中点，则BE的长为　6　. 解析：由在△ABC中，AB＝AC＝10，CE＝AC，易证得＝，又由∠A＝∠A，可证得△ABD∽△AEB，然后由相似三角形的对应边成比例，即可得BD∶BE＝1∶2，然后设BD＝x，BE＝2x，由勾股定理即可求得BE的长． 11. 探究：如图，点A，D在直线BC上方，且AB⊥BC，DC⊥BC.点E是线段BC上的点，AE⊥DE. (1)求证：△ABE∽△ECD； (2)应用：在探究的条件下，若AB＝3，CD＝8，BC＝10，求BE的长． (1)证明：∵AB⊥BC，DC⊥BC， ∴∠B＝∠C＝90°， ∴∠A＋∠AEB＝90°. ∵AE⊥DE， ∴∠AED＝90°， ∴∠AEB＋∠DEC＝90°， ∴∠A＝∠DEC， ∴△ABE∽△ECD. (2)解：由(1)知，△ABE∽△ECD， ∴＝，即＝， ∴＝， ∴B