(练习)课后素养评价25 相似三角形的有关概念及判定定理1-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

1. 如图，在正方形网格中有两个相似三角形△ABC和△DEF，则∠BAC的度数为(　D　) A. 105° B. 115° C. 125° D. 135° 2. 如图，△ABC与△ADE相似，且∠ADE＝∠B，则下列比例式中正确的是(　D　) A. ＝　　B. ＝　　C. ＝　　D. ＝ 3. 已知一个三角形的两个内角分别是40°，60°，另一个三角形的两个内角分别是40°，80°，则这两个三角形(　C　) A. 一定不相似　　B. 不一定相似　　C. 一定相似　　D. 不能确定 4. 下列说法中正确的是(　B　) A. 两个等腰三角形相似 B. 有一个内角是30°的两个直角三角形相似 C. 两个直角三角形相似 D. 有一个锐角是30°的两个等腰三角形相似 解析：A. 不正确，因为没有说明角或边相等的条件，故不一定相似；B. 正确，因为其三对角均对应相等，符合相似三角形的判定条件，故一定相似；C. 不正确，只知道一个直角相等，不符合相似三角形判定的条件，故不一定相似；D. 不正确，因为30°的角可以为底角也可以为顶角，故两三角形不一定相似． 5. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD＝3，DB＝BC＝5，则DE的长为(　A　) A. 　　B. 3　　C. 　　D. 2 6. 如图，在△ABC中，点D是边AB上的一点，∠ADC＝∠ACB，AD＝2，BD＝6，则边AC的长为　4　. 解析：通过证明△ADC∽△ACB，可得AC2＝AB·AD＝16，即可求AC的长． 7. 如图，DE是△ABC的中位线．那么△ADE和△ABC是否相似？请说明理由． 解：△ADE和△ABC相似．理由如下： ∵DE是△ABC的中位线， ∴DE∥BC， ∴∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C， ∴△ADE∽△ABC. 8. 如图，边长为1的正方形ABCD，在边BC上取一动点E，连接AE，作EF⊥AE，交边CD于点F，若CF的长为，则CE的长为　或　. 解析：由正方形的性质结合三角形内角和定理可得出∠BAE＋∠AEB＝90°，结合∠AEB＋∠CEF＝90°，得∠BAE＝∠CEF，由∠B＝∠C，∠BAE＝∠CEF可证出△ABE∽△ECF，再利用相似三角形的性质可求出CE的长． 9. 经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”．如图，线段CD是△ABC的“和谐分割线”，△ACD为等腰三角形，△CBD和△ABC相似，∠A＝46°，则∠ACB的度数为　113°或92°　. 解析：由△ACD是等腰三角形，∠ADC＞∠BCD，推出∠ADC＞∠A，即AC≠CD，分两种情形讨论：①当AC＝AD时；②当DA＝DC时，分别求解即可． 10. 如图，在等边三角形ABC中，点E，D分别在BC，AB上，且∠AED＝60°，求证：△AEC∽△EDB. 证明：∵△ABC是等边三角形， ∴∠B＝∠C＝60°， ∴∠EDB＋∠BED＝120°，∠CAE＋∠AEC＝120°. ∵∠AED＝60°， ∴∠BED＋∠AEC＝180°－60°＝120°， ∴∠BED＝∠CAE， ∴△AEC∽△EDB. 11. 如图，∠ABD＝∠BCD＝90°，DB平分∠ADC，过点B作BM∥CD交AD于点M.连接CM交DB于点N. (1)求证：BD2＝AD·CD； (2)若CD＝6，AD＝8，求MN的长． (1)证明：∵DB平分∠ADC， ∴∠ADB＝∠CDB. ∵∠ABD＝∠BCD＝90°， ∴△ABD∽△BCD， ∴＝， ∴BD2＝AD·CD. (2)解：∵BM∥CD，∠BCD＝90°， ∴∠MBD＝∠BDC，∠MBC＝∠BCD＝90°， ∴∠ADB＝∠MBD，且∠ABD＝90°， ∴BM＝MD，∠MAB＝∠MBA， ∴BM＝MD＝AM＝AD＝4. ∵BD2＝AD·CD，且CD＝6，AD＝8， ∴BD2＝48， ∴在Rt△BCD中， BC2＝BD2－CD2＝12， ∴在Rt△MBC中， MC2＝MB2＋BC2＝28， ∴MC＝2. ∵BM∥CD， ∴△MNB∽△CND， ∴＝＝，且MC＝2， ∴MN＝. 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $