(练习)课后素养评价8 正方形的性质与判定-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

1. 如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，添加下列条件中的一个，能使菱形ABCD成为正方形的是(　A　) 第1题图 A. ∠ABC＝90° B. AC＝AD C. BD＝AB D. OD＝AC 2. 如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列说法正确的是(　C　) 第2题图 A. 若AB＝AD，则▱ABCD是矩形 B. 若AB＝AD，则▱ABCD是正方形 C. 若AB⊥BC，则▱ABCD是矩形 D. 若AC⊥BD，则▱ABCD是正方形 3. 如图，正方形ABCD的边长是2，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别在边AD，AB上，且OE⊥OF，则四边形AFOE的面积是(　C　) A. 4　　B. 2　　C. 1　　D. 解析：证明△AOE≌△BOF(ASA)，得出△AOE的面积＝△BOF的面积，得出四边形AFOE的面积＝正方形ABCD的面积＝×22＝1. 4. 如图，在四边形ABCD中，∠ADC＝∠ABC＝90°，AD＝CD，DP⊥AB于点P.若四边形ABCD的面积是18，则DP的长是　3　. 解析：过点D作DE⊥DP交BC的延长线于点E，先判断出四边形DPBE是矩形，再根据等角的余角相等求出∠ADP＝∠CDE，再利用“角角边”证明△ADP和△CDE全等，根据全等三角形对应边相等可得DE＝DP，然后判断出四边形DPBE是正方形，再根据正方形的面积公式解答即可． 5. 如图，将正方形OEFG放在平面直角坐标系中，O是坐标原点，点E的坐标为(2，3)，则点F的坐标为　(－1，5)　. 解析：结合全等三角形的性质可以求得点G的坐标，再由正方形的中心对称的性质求得点F的坐标． 6. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E，F分别在OB，OC上，OE＝OF.写出AE与BF的关系，并说明理由． 解：AE＝BF，且AE⊥BF.理由如下： 如图，延长AE交BF于点G. ∵四边形ABCD为正方形， ∴OA＝OB，AC⊥BD. 在△AOE和△BOF中， ∴△AOE≌△BOF(SAS)， ∴AE＝BF，∠OAE＝∠OBF. ∵∠OAE＋∠AEO＝90°，∠AEO＝∠BEG， ∴∠OBF＋∠BEG＝90°， ∴∠BGE＝90°， ∴AE⊥BF. 7. 如图，O是正方形ABCD内一点，四边形OHBE与四边形OGDF也都是正方形，图中阴影部分的面积是10，则EG的长为(　B　) A. 　B. 2 C. 10 D. 20 8. 如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF均为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是(　C　) A. 7 　B. 8 C. 7 D. 7 9. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF，请你添加一个条件　AC＝BC(答案不唯一)　，使四边形BECF是正方形． 10. 如图，在正方形ABCD中，AC是对角线，今有较大的直角三角板，一边始终经过点B，直角顶点P在射线AC上移动，另一边交DC于点Q. 图1 图2 (1)如图1，当点Q在边DC上时，猜想并写出PB与PQ所满足的数量关系，并说明理由； (2)如图2，当点Q落在DC的延长线上时，猜想并写出PB与PQ满足的数量关系，并说明理由． 解：(1)PB＝PQ.理由如下： 如图1，过点P作PE⊥BC，PF⊥CD，垂足分别为E，F. 图1 ∵P为正方形对角线AC上的点， ∴CP平分∠DCB，∠DCB＝90°， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF为正方形． ∵∠BPE＋∠QPE＝90°，∠QPE＋∠QPF＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF. 在△PQF和△PBE中， ∴△PQF≌△PBE(ASA)， ∴PB＝PQ. (2)PB＝PQ.理由如下： 如图2，过点P作PE⊥BC交BC的延长线于点E，过点P作PF⊥CD于点F. 图2 ∵P为正方形对角线AC延长线上的点， ∴CA平分∠DCB，∠DCB＝90°， ∴∠ECF＝90°，CP平分∠ECF， ∴PF＝PE， ∴四边形PECF为正方形． ∵∠BPF＋∠QPF＝90°，∠BPF＋∠BPE＝90°， ∴∠BPE＝∠QPF. 在△PQF和△PBE中， ∴△PQF≌△PBE(ASA)， ∴PB＝PQ. 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $