(练习)课后素养评价7 正方形的性质-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

1. 下列条件可以利用定义说明▱ABCD是正方形的是(　B　) A. AB＝CD，∠A＝90° B. AB＝AD，∠A＝90° C. AB∥CD，∠A＝90° D. 以上都不对 2. 如图，已知E是正方形ABCD对角线AC上一点，且AB＝AE，则∠DBE的度数是(　C　) A. 15°　　B. 32.5°　　C. 22.5°　　D. 30° 3. 如图，在正方形OABC中，点A的坐标是(－3，1)，则点C的坐标是(　A　) A. (1，3)　　B. (2，3)　　C. (3，2)　　D. (3，1) 解析：如图，作CD⊥x轴于点D，作AE⊥x轴于点E. 由AAS证明△AOE≌△OCD，得AE＝OD，OE＝CD，由点A的坐标是(－3，1)，得OE＝3，AE＝1，则OD＝1，CD＝3，得出点C 的坐标是(1，3)． 4. 如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB，EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J，则图中阴影部分的面积等于　　. 5. 如图，已知∠B＝∠FAC＝90°，AB＝3，BC＝4，AF＝12，则正方形CDEF的面积为　169　. 解析：根据勾股定理可以得到AC的长，再根据勾股定理可以求出CF的长，从而可以求得正方形CDEF的面积． 6. 如图，P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE⊥DC，PF⊥BC，垂足分别为E，F.求证：AP＝EF. 证明：如图，连接PC. ∵PE⊥DC，PF⊥BC，四边形ABCD是正方形， ∴∠PEC＝∠PFC＝∠ECF＝90°， ∴四边形PECF为矩形， ∴PC＝EF. 又∵P为BD上任意一点， ∴PA，PC关于BD对称， ∴PA＝PC， ∴AP＝EF. 7. 如图，E是边长为2的正方形ABCD的对角线AC上一点，且AE＝AB，F为BE上任意一点，FG⊥AC于点G，FH⊥AB于点H，则FG＋FH的值是　　. 解析：过点E作EM⊥AB于点M，连接AF，先根据正方形的性质及勾股定理求出EM＝，由S△ABE＝AB·EM＝AE·GF＋AB·FH，可得FG＋FH＝EM，则FG＋FH＝. 8. 如图，在正方形ABCD中，AB＝10，点O为对角线交点，BE＝CF，连接EF，过点O作OG⊥EF交边BC于点G，点G始终在边BC上，并且不与点B，C重合，连接OE，OF，EG. (1)求证：OE＝OF； (2)求∠EOG的度数； (3)求△BEG的周长； (4)若AE＝AO，请直接写出四边形BEOG的面积． (1)证明：∵点O是正方形对角线交点， ∴OB＝OC，∠OBE＝∠OCF＝45°. 在△EBO和△FCO中， ∴△EBO≌△FCO(SAS)， ∴OE＝OF. (2)解：∵四边形ABCD为正方形， ∴∠BOC＝90°. 由(1)可知，△EBO≌△FCO， ∴∠BOE＝∠COF， ∵∠BOE＋∠BOF＝∠BOF＋∠COF＝90°， ∴∠EOF＝90°. ∵OE＝OF，OG⊥EF， ∴OG垂直平分EF，OG平分∠EOF， ∴∠EOG＝45°. (3)解：∵OG垂直平分EF， ∴EG＝GF， ∴△BEG的周长为BE＋EG＋BG＝CF＋GF＋BG＝BC. ∵BC＝AB＝10， ∴△BEG的周长为10. (4)解：∵四边形ABCD为正方形， ∴AB＝BC＝10，∠BAC＝45°，∠AOB＝90°. ∵AC＝＝10， ∴BO＝AO＝AC＝5. ∵AE＝AO， ∴BE＝AB－AE＝10－5. 在△AOE中， ∠AOE＝(180°－∠EAO)＝67.5°， ∴∠BOE＝∠AOB－∠AOE＝22.5°. 由(2)知，∠EOG＝45°， ∴∠BOG＝∠EOG－∠BOE＝22.5°， ∴OB为∠EOG的平分线． ∵BO为∠EBG的平分线， ∴∠OBG＝∠OBE. 又∵OB＝OB， ∴△OBG≌△OBE(ASA)， ∴BE＝BG，OE＝OG， ∴OB垂直平分EG. 在△EBG中，EG＝＝10－10， ∴S四边形BEOG＝×EG·OB＝50－25. 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $