(练习)课后素养评价6 矩形的性质与判定的综合应用 -【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

1. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD交于点O.若∠AOB＝50°，则∠OAD的度数为(　A　) A. 25°　　B. 30°　　C. 35°　　D. 15° 解析：先由矩形的性质得出OA＝OB，根据等腰三角形的性质得出∠BAO，进而解答即可． 2. 下列说法正确的是(　C　) A. 有一组对角是直角的四边形一定是矩形 B. 一条对角线被另一条对角线垂直平分的四边形是菱形 C. 对角互补的平行四边形是矩形 D. 对角线相等的四边形是矩形 3. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°且AB＝3，AC＝4，点D是斜边BC上的一个动点，过点D分别作DM⊥AB于点M，DN⊥AC于点N，P为MN的中点，则线段AP的最小值为(　B　) A. 　　B. 　　C. 3　　D. 4 解析：由勾股定理求出BC的长，再证明四边形DMAN是矩形，可得MN＝AD，根据垂线段最短和三角形的面积即可解决问题． 4. 求证：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半． 已知：如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，点O是AC的中点． 求证：OB＝AC. 证明：如图，延长BO到点D，使OD＝OB，连接AD，CD，中间的证明过程排乱了： ①∵∠ABC＝90°； ②∵OD＝OB，OA＝OC； ③∴四边形ABCD是平行四边形； ④∴四边形ABCD是矩形． ∴AC＝BD，∴OB＝BD＝AC. 则中间证明过程正确的顺序是(　D　) A. ①④②③ B. ①③②④ C. ②④①③ D. ②③①④ 5. 如图，把一张矩形纸片按如图方式折叠，使点B和点D重合，折痕为EF.若∠DFC＝70°，则∠DEF＝　55　°. 解析：根据折叠的性质和邻补角的定义求得∠EFB的度数，然后利用平行线的性质求解即可． 6. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，过点C作CE∥BD，过点D作DE∥AC，CE与DE相交于点E. (1)求证：四边形CODE是菱形； (2)若AB＝6，∠AOB＝60°，求四边形CODE的周长． (1)证明：∵CE∥BD，DE∥AC， ∴四边形OCED是平行四边形． ∵四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD，AO＝CO，BO＝DO， ∴OD＝OC， ∴四边形CODE是菱形． (2)解：∵∠AOB＝60°，AO＝BO， ∴△AOB是等边三角形， ∴OA＝OB＝AB＝6＝OC. ∵四边形CODE是菱形， ∴OC＝OD＝DE＝CE＝6， ∴四边形CODE的周长为6×4＝24. 7. 如图，▱ABCD的对角线AC，BD交于点O，顺次连接▱ABCD各边中点得到一个新的四边形，给出下列四个条件：①AC⊥BD；②△ABO的周长等于△CBO的周长；③∠DAO＝∠CBO；④∠DAO＝∠BAO.如果从中选择一个条件可以使这个新的四边形成为矩形，那么这样的条件个数是(　C　) A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，在△ABC中，AC的垂直平分线分别交AC，AB于点D，F，BE⊥DF交DF的延长线于点E，已知∠A＝30°，BC＝2，AF＝BF，则四边形BCDE的面积是　2　. 解析：由AF＝BF得到F为AB的中点，由DF垂直平分AC得到D为AC的中点，可得出DF为△ABC的中位线．根据三角形中位线定理得到DF平行于CB，且DF等于BC的一半，由BC的长求出DF的长．由两直线平行，同旁内角互补得到∠C＝90°，同时由DE与EB垂直，ED与DC垂直，根据垂直的定义得到两个角都为直角，利用三个角为直角的四边形为矩形得到四边形BCDE为矩形，在Rt△ADF中，由∠A＝30°，DF的长，求出AD的长，即为DC的长，由矩形的长BC与宽CD的乘积即可求出矩形BCDE的面积． 9. 如图，已知点E是▱ABCD中边BC的中点，连接AE并延长交DC的延长线于点F，连接AC，BF，AF＝BC. (1)求证：四边形ABFC为矩形； (2)若△AFD是等边三角形，且边长为6，求四边形ABFC的面积． (1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠CFE. ∵点E是▱ABCD中边BC的中点， ∴BE＝CE. ∵∠AEB＝∠FEC， ∴△ABE≌△FCE(AAS)， ∴AB＝FC. ∵AB∥FC， ∴四边形ABFC是平行四边形． 又∵AF＝BC， ∴四边形ABFC为矩形． (2)解：由(1)得四边形ABFC为矩形， ∴∠ACF＝90°，AB＝CF＝CD. ∵△AFD是等边三角形， ∴AF＝DF＝6，CF＝DF＝3， ∴AC＝＝＝3， ∴四边形ABFC的面积为AC·CF＝3×3＝9. 10. 如图，在△ABC中，CE，CF分别平分∠ACB与它的邻补角∠ACD，AE⊥CE于点E，AF⊥CF于点F，直线EF分别交AB，AC于点M，N. (1)求