(练习)课后素养评价3 菱形的性质与判定的综合应用 -【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

1. 下列说法中不正确的是(　C　) A. 对角线垂直的平行四边形是菱形 B. 四边相等的四边形是菱形 C. 菱形的对角线互相垂直且相等 D. 菱形的邻边相等 2. 如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E，以点A为圆心，AB长为半径画弧交AD于点F，连接BF，交AE于点O，若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　A　) A. 16　　B. 15　　C. 14　　D. 13 解析：首先证明四边形ABEF是菱形，得出AE⊥BF，OB＝OF＝6，OA＝OE，利用勾股定理计算出AO，从而得到AE的长． 3. 如图，在▱ABCD中，AC平分∠DAB，AB＝2，则▱ABCD的周长为(　C　) A. 4　　B. 6　　C. 8　　D. 12 解析：在▱ABCD中，AC平分∠DAB，利用平行线的性质可证△ACD，△ABC为等腰三角形，进而根据平行四边形的性质证出四边形ABCD为菱形，根据菱形的性质求周长即可． 4. 如图，已知AB＝BC＝CD＝AD，∠DAC＝40°，那么∠B＝　100°　. 解析：由AB＝BC＝CD＝AD，得到菱形ABCD，由菱形的性质求出∠DAB的度数为80°，根据平行线的性质，由∠DAB即可求出∠B的度数为100°. 5. 如图，在菱形ABCD中，E，F是对角线AC上的两点，且AE＝CF.求证： (1)△ABE≌△CDF； (2)四边形BEDF是菱形． 证明：(1)∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝CD，AB∥CD， ∴∠BAE＝∠DCF. 在△ABE和△CDF中， ∴△ABE≌△CDF(SAS)． (2)如图，连接BD，交AC于点O. ∵四边形ABCD是菱形， ∴BD⊥AC，AO＝CO，BO＝DO. ∵AE＝CF， ∴EO＝FO， ∴四边形BEDF是平行四边形． 又∵BD⊥EF， ∴四边形BEDF是菱形． 6. 如图，在正五边形ABCDE的内部作菱形ABCF，则∠FAE的度数为(　C　) A. 30° B. 32° C. 36° D. 40° 7. 已知菱形的周长为4，两条对角线长的和为6，则菱形的面积为　4　. 8. 如图，在四边形ABCD中，AC，BD交于点O，AD∥BC，BA＝BC，BD平分∠ABC. (1)求证：四边形ABCD是菱形； (2)延长BC至点E，使DE∥AC，若BC＝5，BD＝8，求四边形ABED的周长． (1)证明：∵BD平分∠ABC， ∴∠ABD＝∠CBD. ∵AD∥BC， ∴∠ADB＝∠CBD＝∠ABD， ∴AB＝AD. 又∵BA＝BC， ∴AD＝BC， ∴四边形ABCD为平行四边形． ∵AB＝AD， ∴四边形ABCD是菱形． (2)解：∵四边形ABCD是菱形， ∴AC⊥BD. ∵DE∥AC， ∴DE⊥BD. ∵AD∥BC，DE∥AC， ∴四边形ACED为平行四边形， ∴CE＝AD＝BC＝5， ∴BE＝BC＋CE＝10. 在Rt△BDE中， 由勾股定理，得 DE＝＝＝6. ∵BA＝BC＝5， ∴四边形ABED的周长为AB＋AD＋BE＋DE＝5＋5＋10＋6＝26. 9. 在菱形ABCD中，∠ABC＝60°，E是对角线AC上任意一点，F是线段BC延长线上一点，且CF＝AE，连接BE，EF. (1)如图1，当E是线段AC的中点时，求证：BE＝EF； (2)如图2，当点E不是线段AC的中点，其他条件不变时，请你判断(1)中的结论：　成立　(填“成立”或“不成立”)； (3)如图3，当点E是线段AC延长线上的任意一点，其他条件不变时，(1)中的结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由． 图1　　　　　　图2 图3 (1)证明：∵四边形ABCD是菱形， ∴AB＝BC. ∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴∠BCA＝60°. ∵E是线段AC的中点， ∴∠CBE＝∠ABE＝30°，AE＝CE. ∵CF＝AE， ∴CE＝CF， ∴∠F＝∠CEF＝∠BCA＝30°， ∴∠CBE＝∠F＝30°， ∴BE＝EF. (3)解：结论成立．证明如下： 如图，过点E作EG∥BC交AB的延长线于点G. ∵四边形ABCD为菱形， ∴AB＝BC. 又∵∠ABC＝60°， ∴△ABC是等边三角形， ∴AB＝AC，∠BAC＝∠ACB＝60°， ∴∠ECF＝60°. 又∵EG∥BC， ∴∠AGE＝∠ABC＝60°. 又∵∠BAC＝60°， ∴△AGE是等边三角形， ∴AG＝AE＝GE，∠AGE＝60°， ∴BG＝CE，∠BGE＝∠ECF. 又∵CF＝AE， ∴GE＝CF. 在△BGE和△ECF中， ∴△BGE≌△ECF(SAS)， ∴BE＝EF. 5/5 学科网（北京）股份有限公司 $