(教参)第4章 5 相似三角形判定定理的证明-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

*5　相似三角形判定定理的证明 学习目标 1. 熟悉三角形相似的三个判定方法. 2. 会证明相似三角形的判定定理. 素养目标 掌握推理证明的方法，发展演绎推理能力. 相似三角形判定定理 1. 两角　分别相等　判定两个三角形相似． 2. 两边　成比例且夹角相等　判定两个三角形相似． 3. 三边　成比例　判定两个三角形相似． 1. 如图，点F在平行四边形ABCD的边AB上，射线CF交DA的延长线于点E，在不添加辅助线的情况下，与△FBC相似的三角形有(　D　) A. 0个　　B. 1个　　C. 3个　　D. 2个 解析：由平行四边形的性质可知：AE∥BC，AF∥CD，推出△AEF∽△BCF，△AEF∽△DEC即可判断． 2. 如图，∠ABC＝∠D＝90°，AC＝9 cm，BC＝6 cm，则当BD＝　4　 cm时，△ABC∽△CDB. 解析：在△ABC和△CDB中，已知∠ABC＝∠D＝90°，如果两三角形相似，那么两三角形的直角边应该对应成比例，据此可求出BD的长． 　　三角形相似的判定 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，正方形DEFG的顶点D，E分别在边AC，BC上，顶点F，G都在边AB上． 探究1: 求证：GF2＝AG·BF； 证明：∵四边形DEFG是正方形， ∴DG＝GF＝EF，∠DGF＝∠EFG＝90°， ∴∠DGA＝∠EFB＝90°. ∵∠ACB＝90°， ∴∠A＋∠B＝∠FEB＋∠B＝90°， ∴∠A＝∠FEB， ∴△AGD∽△EFB， ∴＝， 即＝， ∴GF2＝AG·BF. 探究2: 直接写出图中所有与△ABC相似的三角形． 解：△ADG∽△ABC， △EBF∽△ABC， △DEC∽△ABC. 1. 下列选项中不能判定△ACD∽△ABC的是(　B　) A. AC2＝AD·AB B. BC2＝BD·AB C. ∠ACD＝∠B D. ∠ADC＝∠ACB 2. 如图，D，E分别是△ABC的边AC，AB上的点，AE＝1.5，AC＝2，BC＝3，且＝，求DE的长． 解：∵AE＝1.5，AC＝2， ∴＝＝＝. ∵∠EAD＝∠CAB， ∴△AED∽△ACB， ∴＝， 即＝， 解得DE＝. 3. 如图，四边形ABCD中，AC平分∠DAB，∠ADC＝∠ACB＝90°，E为AB的中点． 求证：(1)AC2＝AB·AD； (2)△AFD∽△CFE. 证明：(1)∵AC平分∠DAB， ∴∠DAC＝∠CAB. ∵∠ADC＝∠ACB＝90°， ∴△ADC∽△ACB， ∴AD∶AC＝AC∶AB， ∴AC2＝AB·AD. (2)∵E为AB的中点， ∴CE＝BE＝AE， ∴∠EAC＝∠ECA. ∵∠DAC＝∠CAB， ∴∠DAC＝∠ECA， ∴CE∥AD， ∴△AFD∽△CFE. 知识点　相似三角形判定定理的证明 1. 两角分别相等判定两个三角形相似． 2. 两边成比例且夹角相等判定两个三角形相似． 3. 三边成比例判定两个三角形相似． 【考点诠释】 能合理且正确选择三角形相似的判定定理，是能正确解决三角形相似问题的关键． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $