(教参)第4章 4 课时4 黄金分割-【提分教练】2022-2023学年九年级数学上册同步（北师大版）

课时4　黄金分割 学习目标 1. 掌握黄金分割的定义. 2. 会找一条线段的黄金分割点. 素养目标 1. 经历黄金分割概念的建立过程，感受方程思想应用的广泛性，发展学生归纳概括的能力． 2. 培养学生的审美意识，体会黄金分割的应用价值和文化价值. 黄金分割 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的　黄金分割点　，AC与AB的比叫做　黄金比　. 其中，黄金比为，约等于0.618. 1. 如图，点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，那么称线段AB被点C黄金分割，AC与AB的比叫做黄金比，其比值是(　A　) A. 　　B. 　　C. 　　D. 解析：根据黄金分割的概念，黄金比是固定的比值，即可求得． 2. 若线段MN的长为1，P是MN的黄金分割点，则MP的长为　或　. 解析：分MP＞NP和MP＜NP两种情况，根据黄金比值是进行计算即可．重点需要熟悉黄金分割点成对出现． 　黄金分割 黄金分割具有严格的比例性、艺术性、和谐性，蕴藏着丰富的美学价值．黄金分割是指将整体一分为二，较大部分与整体部分的比值等于较小部分与较大部分的比值，其比值约为0.618.这个比值，被称为黄金分割数．我国著名数学家华罗庚普及并做出重要贡献的优选法中有一种0.618法也应用了黄金分割数． 定义：点C在线段AB上，若满足AC2＝BC·AB，则称点C为线段AB的黄金分割点(如图1)． 　　 图1　　　　　　图2 如图2，在△ABC中，AB＝AC＝1，∠A＝36°，BD平分∠ABC交AC于点D. 探究1: 求证：点D是线段AC的黄金分割点； 证明：∵AB＝AC＝1， ∴∠ABC＝∠C＝(180°－∠A)＝(180°－36°)＝72°. ∵BD平分∠ABC交AC于点D， ∴∠ABD＝∠CBD＝∠ABC＝36°， ∴∠BDC＝180°－36°－72°＝72°， ∴DA＝DB，BD＝BC， ∴AD＝BD＝BC， 易得△BDC∽△ABC， ∴BC∶AC＝CD∶BC，即BC2＝CD·AC， ∴AD2＝CD·AC， ∴点D是线段AC的黄金分割点． 探究2: 求出线段AD的长． 解：设AD＝x，则CD＝AC－AD＝1－x. ∵AD2＝CD·AC， ∴x2＝1－x， 解得x1＝，x2＝， 即AD的长为. 1. 已知点C把线段AB分成两条线段AC，BC，且AC＞BC，则下列说法错误的是(　C　) A. 如果＝，那么线段AB被点C黄金分割 B. 如果AC2＝AB·BC，那么线段AB被点C黄金分割 C. 如果线段AB被点C黄金分割，那么BC与AB的比叫做黄金比 D. 0.618是黄金比的近似值 2. 电视节目主持人在主持节目时，站在舞台的黄金分割点处最自然得体．如图，若舞台AB长为20 m，则主持人应走到离点A至少　7.6　m处．(结果精确到0.1 m) 3. 已知点C和D均为线段AB的黄金分割点，CD＝6，求AB的长． 解：∵C为线段AB的黄金分割点， ∴BC＝AB. ∵D为线段AB的黄金分割点， ∴AD＝AB. ∵AD＋BC＝AB＋CD， ∴AB×2＝AB＋6， ∴AB＝6＋12. 知识点　黄金分割 一般地，点C把线段AB分成两条线段AC和BC(如图)，如果＝，那么线段AB被点C黄金分割，点C叫做线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．其中，黄金比为，约等于0.618.黄金比是客观存在的，与线段长度无关，往往是采用参数法进行计算． 【考点诠释】 一条线段有两个黄金分割点，当没有指明哪条线段较长时，两个黄金分割点都应考虑． 4/4 学科网（北京）股份有限公司 $